白噪声

在信号处理中，白噪声是在不同频率下具有相等强度的随机信号，使其具有恒定的功率频谱密度。在许多科学和技术学科中，使用该术语，包括物理学，声学工程，电信和统计预测。白噪声是指信号和信号源的统计模型，而不是任何特定信号。白噪声从白光中汲取名称，尽管看起来白色的光通常在可见频带上没有平坦的功率频谱密度。

在离散时间，白噪声是一个离散信号，其样品被视为均值均值和有限方差的串行不相关的随机变量的序列。白噪声的单一实现是随机的冲击。根据上下文，人们可能还要求样品是独立的并且具有相同的概率分布（换句话说，独立的随机变量是白噪声的最简单表示）。特别是，如果每个样品的平均值为零，则据说该信号为加性白色高斯噪声。

白噪声信号的样品可以在时间上顺序呈顺序，也可以沿一个或多个空间维度排列。在数字图像处理中，白噪声图像的像素通常在矩形网格中排列，并被认为是独立的随机变量，其概率分布在某些间隔内。该概念也可以定义为传播到更复杂的域（例如球体或圆环）的信号。

无限带宽的白噪声信号是一种纯粹的理论结构。通过噪声产生的机理，传输介质和有限的观察能力，白噪声的带宽在实践上受到限制。因此，如果随机信号被观察到与上下文相关的频率范围内的平坦光谱，则将其视为“白噪声”。对于音频信号，相关范围是声音频率（20至20,000 Hz ）的频带。人耳听到这种信号为嘶嘶声，类似于 / h / sound持续的志向。另一方面，“ sh”声音/ʃ /在“灰”中是彩色噪声，因为它具有共振剂结构。在音乐和声学中，“白噪声”一词可用于任何具有类似嘶嘶声的信号。

白噪声一词有时在基于系统发育的统计方法的背景下使用，以指比较数据中缺乏系统发育模式。有时在非技术环境中类似地使用它的意思是“无意义的内容的随机交谈”。

统计特性

任何值的分布都是可能的（尽管它必须具有零DC组件）。如果序列在统计上不相关时，即使只能采用值1或-1的二进制信号也是白色。具有连续分布的噪声，例如正态分布，当然可以是白色。

通常错误地认为高斯噪声（即具有高斯振幅分布的噪声 - 参见正态分布）一定是指白噪声，但两者都不意味着其他噪声。高斯性是指相对于值的概率分布，在这种情况下，信号落在任何特定幅度范围内的概率，而“白色”一词是指信号功率随时间分配（即独立）的方式或频率。

白噪声的一种形式是维纳过程或布朗运动的广义均方衍生物。

在无限尺寸空间（例如随机场）上对随机元素的概括是白噪声度量。

实际应用

音乐

白噪声通常用于电子音乐的生产，通常是直接或作为过滤器创建其他类型的噪声信号的输入。它被广泛用于音频合成，通常用于重新创建打击乐器，例如Cymbals或SNARE鼓，它们的频域中具有较高的噪声含量。白噪声的一个简单示例是不存在的广播电台（静态）。

电子工程

白噪声还用于获得电路的冲动响应，特别是放大器和其他音频设备。它不用于测试扬声器，因为它的频谱包含大量高频内容。粉红色的噪声与白噪声不同，因为它在每个八度噪声中具有相等的能量，用于测试换能器，例如扬声器和麦克风。

计算

白噪声用作某些随机数发生器的基础。例如， Random.org使用一个大气天线系统来从可以通过白噪声良好模型的来源产生随机数字模式。

耳鸣治疗

白噪声是一种通用的合成噪声源，用于通过耳鸣掩蔽器进行掩盖。白噪声机和其他白噪声来源作为隐私增强剂和睡眠辅助工具（请参阅音乐和睡眠）出售，并掩盖耳鸣。马尔帕克睡眠伴侣是旅行推销员吉姆·巴克瓦尔特（Jim Buckwalter）于1962年建造的第一台家用白噪声机。另外，使用调谐到未使用的频率（“静态”）的FM无线电是白噪声的更简单，更具成本效益的来源。但是，从调谐到未使用频率的普通商业无线电接收器产生的白噪声极为容易受到虚假信号的污染，例如相邻的广播电台，来自非相邻广播电台的谐波，在接收天线附近引起的电气设备，导致天线引起的电气设备干扰，甚至大气事件，例如太阳耀斑，尤其是闪电。

工作环境

白噪声对认知功能的影响混合在一起。最近，一项小型研究发现，白噪声背景刺激可改善患有注意力缺陷多动障碍（ADHD）的中学学生的认知功能，同时降低了非ADHD学生的表现。其他工作表明，它可以通过掩盖背景办公室的噪音来有效地改善工人的情绪和表现，但会降低复杂的卡片分类任务中的认知表现。

同样，对66位健康参与者进行了实验，以观察学习环境中使用白噪声的好处。实验涉及参与者识别不同图像的同时在背景中具有不同的声音。总体而言，实验表明，白噪声实际上确实具有与学习有关的好处。实验表明，白噪声略微提高了参与者的学习能力及其识别记忆。

数学定义

白噪声矢量

一个随机向量（即，在r ⁿ中具有值的随机变量）被认为是白噪声向量或白色随机向量，如果其组件每个分量每个都具有零均值和有限方差的概率分布，并且在统计上是独立的：也就是说： ，它们的联合概率分布必须是单个组件分布的乘积。

两个变量的统计独立性的必要条件（但总的来说，不够）是它们在统计上是不相关的；也就是说，它们的协方差为零。因此，具有n个元素的白噪声矢量w的分量的协方差矩阵必须为n对角矩阵，其中每个对角线元素r _i是组件w _i的方差；相关矩阵必须是n个身份矩阵的n 。

如果除了独立之外，W中的每个变量还具有零均值和相同方差的正态分布，则W被称为高斯白噪声矢量。在这种情况下，W的联合分布是多元正态分布。然后，变量之间的独立性意味着分布在N维空间中具有球形对称性。因此，矢量的任何正交转换都将导致高斯白色随机矢量。特别是，在大多数类型的离散傅立叶变换（例如FFT和Hartley）下，W的变换也将是高斯白噪声向量。也就是说，W的N傅立叶系数将是独立的高斯变量，均值为零且方差相同。

随机向量W的功率谱P可以定义为其傅立叶变换W的每个系数的平方模量的预期值，即p _i = e（| w _i | ² ）。在该定义下，高斯白噪声矢量将具有完美的平坦功率谱，所有i^的p _i = σ2 。

如果w是白色随机矢量，而不是高斯矢量，那么它的傅立叶系数w_我不会完全独立。尽管对于较大的N和共同的概率分布，依赖项非常微妙，并且可以认为它们的成对相关性为零。

通常，“统计上不相关”的条件通常用于白噪声的定义，而不是“统计上独立”。但是，对于此较弱的版本，白噪声（例如平面功率谱）的某些通常预期的特性可能无法保持。在此假设下，更严格的版本可以明确称为独立的白噪声向量。其他作者使用强烈的白色和弱白色。

一个随机矢量的示例是弱弱的“高斯白噪声”，但在很强的意义上不是均值为零的正常随机变量，并且等于或等于或与之相等的概率。这两个变量是不相关的，并且单独地分布，但它们不是共同正态分布，也不是独立的。如果旋转45度，其两个组件仍将不相关，但是它们的分布将不再正常。

在某些情况下，可以通过允许白色随机矢量的每个组件具有非零的期望值来放松定义。特别是在图像处理中，在样品通常仅限于正值的情况下，通常需要是最大样本值的一半。在这种情况下，对应于零频率组件的傅立叶系数（本质上，平均值）也将具有非零的期望值；并且功率谱只能在非零频率上平坦。

离散的白色噪声

离散的时间随机过程是对无限数量的随机矢量的概括到无限的许多组件。如果离散时间随机过程的平均值等于所有噪声，则称为白噪声。

连续时间白噪声

为了在连续时间信号理论中定义“白噪声”的概念，必须用连续的时间随机信号替换“随机向量”的概念；也就是说，一个随机过程生成了实价参数的函数。

如果任何时间的价值是一个随机变量，在统计上独立于其整个历史记录，则这种过程在最强的意义上被认为是白噪声。一个较弱的定义只需要在值和每对不同时间和各个时期之间的独立性。一个甚至更弱的定义只需要这种对并不相关。与离散的情况一样，一些作者对“白噪声”采用了更弱的定义，并使用独立的预选程序来指代任何一个更强的定义。其他人则使用弱白色和强烈的白色来区分它们。

但是，这些概念的确切定义并不是微不足道的，因为在有限离散情况下，某些数量是有限的总和必须由可能不会收敛的积分代替。实际上，信号的所有可能实例的集合不再是有限维空间，而是无限维函数空间。而且，从任何定义上，白噪声信号在每个点基本上都必须不连续。因此，即使是最简单的操作，例如在有限间隔上集成，都需要高级数学机制。

一些作者要求每个值是带有预期和一些有限差异的实用值的随机变量。然后在两次时值之间的协方差，并且定义明确：如果时间不同，如果它们相等，则为零。但是，根据这个定义，积分不可或缺

在任何一个积极宽度的间隔中，都只是期望的宽度倍：。该属性使该概念不足以作为物理或数学意义上的“白噪声”信号的模型。

因此，大多数作者通过指定每个间隔的积分和上方的随机值来间接定义信号。但是，在这种方法中，在隔离时间的值不能定义为实现的随机变量。同样，协方差也变得无限；并且必须将自相关函数定义为一个真实常数，并且是Dirac的“函数”。

在这种方法中，通常指定间隔的积分是一个真实的随机变量，具有正态分布，均值和方差。而且，积分的协方差是，两个间隔的交点的宽度是其中。该模型称为高斯白噪声信号（或过程）。

在称为白噪声分析的数学字段中，高斯白噪声被定义为随机恢复分布，即一个随机变量，具有钢化分布空间的值。类似于有限维的随机向量的案例，可以通过其特征函数（存在和唯一性来确保Bochner-Minlos定理的扩展来确保无限维空间的概率定律，该定理以Bochner –名称为单位。 Minlos – Sasazanov定理）；类似于多元正态分布的情况，该分布具有特征功能

白噪声必须满足

钢化分布与Schwartz函数的自然配对在哪里，对此进行了方案。

数学应用

时间序列分析和回归

在统计和计量经济学中，人们通常认为观察到的一系列数据值是确定性线性过程产生的值的总和，具体取决于某些（解释性）变量以及一系列随机噪声值。然后，回归分析用于从观察到的数据（例如普通最小二乘）中推断模型过程的参数，并测试零假设，即每个参数均为零，而替代假设是非零的。假设检验通常假设噪声值与零均值无关，并且具有相同的高斯概率分布 - 换句话说，噪声是高斯白色（不仅是白色）。如果不同观测值的噪声值之间存在非零的相关性，则估计的模型参数仍然没有偏见，但是对其不确定性（例如置信区间）的估计值将是偏差的（平均而言不准确） 。如果噪声是异性噪声的，也就是说，如果它具有不同的数据点方差，则它也是如此。

另外，在称为时间序列分析的回归分析子集中，除了被建模的变量的过去值（因变量）以外，通常没有其他解释变量。在这种情况下，噪声过程通常被建模为移动平均过程，其中因变量的当前值取决于顺序白噪声过程的当前和过去值。

随机向量变换

这两个想法在通信和音频中的渠道估计和渠道均衡等应用中至关重要。这些概念也用于数据压缩。

特别是，通过合适的线性变换（着色转换），可以使用白色随机矢量来产生“非白”随机矢量（即，其元素具有规定的协方差矩阵）的“非白”随机矢量（即，随机变量列表）。相反，具有已知协方差矩阵的随机向量可以通过合适的美白转化转化为白色随机载体。

一代

可以使用数字信号处理器，微处理器或微控制器以数字方式生成白噪声。产生白噪声通常需要将适当的随机数流喂入数字到Analog转换器。白噪声的质量将取决于所使用的算法的质量。

非正式使用

该术语有时被用作口语化，以描述环境声音的背景，从而产生模糊或无缝的骚动。以下是一些例子：

• 从密闭空间的声学中的多次对话中chat不休。
• 政治家使用的胸腔术语掩盖了他们不想注意的一点。
• 没有旋律的音乐，令人讨厌，苛刻，不和谐或不和谐。

该术语也可以隐喻地使用，就像唐·德里洛（Don Delillo ）的《新颖的白噪声》 （1985年）中，它探讨了融合在一起的现代文化症状，从而使个人很难实现自己的思想和个性。

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