三角形

三角形
三角形
	三角形
边缘和顶点	3
Schläfli符号	{3}（对于等边）
区域	各种方法；; 见下文
内角（度）	60°（对于等边）

三角形是一个多边形，具有三个角和三个侧面，是几何形状中的基本形状之一。角落，也称为顶点，是零维点，而将它们连接的侧面也称为边缘，是一维线段。三角形的内部是二维区域。有时选择任意边缘为基础，在这种情况下，相反的顶点称为顶点。

在欧几里得的几何形状中，任何两个点决定了位于唯一的直线内的唯一线段，而在非共线时，任何三个点都确定位于唯一平坦平面中的独特三角形。更一般而言，任意维度的欧几里得空间中的几个点确定了单纯态。

在非欧亚人几何形状中，三个直线段还决定了一个三角形，例如球形三角形或双曲三角形。一个大地三角形是一般二维表面的区域，该区域由三个侧面围绕，这些区域相对于表面是直的。曲线三角形是具有三个弯曲侧的形状，例如一个带有圆形弧侧的圆形三角形。本文是关于欧几里得几何形状中直接三角形的，除非另有说明。

一个带顶点的三角形，并在描述三角形内的度量关系时表示，使用下箱字母表示边缘的长度，以表示边缘的长度，使得为边的长度，长度和长度的长度；并使用希腊字母在每个角度表示角度度量

三角形的类型

对三角形进行分类的术语已有两千多年的历史，在欧几里得元素的第一页上定义了。用于现代分类的名称要幺是对欧几里得的希腊语或其拉丁翻译的直接音译。

侧面

古希腊数学家欧几里得根据两侧的长度定义了三种三角形：

希腊语： τῶνδὲτριπλεύρωνσχημμάτωνἰσόπλεευρονμὲνμὲνμὲντρρ真γνόγν了ἐἐστιτὸτὰτὰτρτρρεῖςτρεῖdimout ςἔχονπλευράς，σκαληνδὲτὸτὰτὰςτρεῖςἀνίσουςἔχονπλευράς ，点亮。 “三边形的三角形三角形的三角形是三个侧面相等的三角形的，一个同学的同学则是其两个侧面相等的等质，而其三个侧面不相等的鳞片。”

等边三角（希腊语： ἰσόπλευρον ，罗马化： isópleuron ，点亮。 “平等侧面”）具有相同长度的三个侧面。等边三角形也是一个常规多边形，所有角度的尺寸为60°。
同步三角形（希腊语： ἰσοσκελὲς ，罗马化： Isoskelés ，点亮。 “相等的腿”）的长度相等。同步三角形也具有相同度量的两个角度，即与相同长度的两侧相反的角度。这个事实是等化三角定理的内容，欧几里得知道。一些数学家定义了三角形的等质三角形的恰好相等的边，而另一些则定义一个同步三角形，为一个至少两个相等的侧面。后一个定义将使所有等边三角形同步三角形。同步的45–45–90右三角形出现。
斜角三角（希腊语： σκαληνὸν ，罗马化： skalinón ，点亮。 “不等”）具有不同长度的所有侧面。同等地，它具有不同度量的所有角度。

等边三角形
等腰三角形
不等边三角形

孵化标记（也称为刻度标记）用于三角形和其他几何图形的图表中，以识别相等长度的侧面。可以用“ tick”的图案标记侧面，形式为tally标记的短线段；如果两个侧的长度相同，则它们的长度都相同。在三角形中，图案通常不超过3个滴答。等边三角形在所有3个侧面均具有相同的模式，同步三角形的图案仅在2个侧面具有相同的模式，并且Scalene Triangle在所有侧面都具有不同的模式，因为没有任何侧面相等。

同样，在角度内的1、2或3个同心弧的模式用于指示相等的角度：等边三角形在所有3个角度上具有相同的图案，同步三角形的三角形仅在2个角度上具有相同的图案，而鳞状三角则具有相同的图案在各个角度上都有不同的模式，因为没有角度相等。

通过内部角度

欧几里得元素的第一页，来自世界上第一个印刷版本（1482），显示了书籍I的“定义”部分。正确的三角形标记为“ Orthogonius ”，所示的两个角度为“ acutus ”和“ acutus”和“ angulus ottulus ottusus”。。

三角形也可以根据其内部角度进行分类，在此以程度测量。

右三角形（或右角三角形）的内部角度之一（直角）。与直角相反的一侧是斜边，三角形的最长侧。另外两个侧面称为三角形的腿或心理（奇异：心理）。右三角遵守毕达哥拉斯定理：两条腿长度的平方和等于斜边的长度的平方： a ² + b ² = c ² ，其中a和b是腿的长度C是斜边的长度。特殊的右三角形是正确的三角形，具有其他属性，使计算涉及它们更容易。最著名的两个是3-4-5右三角，其中3 ² + 4 ² = 5 ² 。 3–4-5三角形也被称为埃及三角形。在这种情况下，3、4和5是毕达哥拉斯的三倍。另一个是一个同步三角形，其2个角度为45度（45–45–90三角形）。右三角形在三角学上是基本的，因为它们可用于通过三角比率来定义三角函数。
- 没有一个角度为90°角的三角形称为倾斜三角形。
所有内部角度的三角形小于90°的三角形是急性三角形或急性角三角形。如果C是最长的一侧的长度，则A ² + B ² > C ² ，其中A和B是另一侧的长度。
一个内部角度大于90°的三角形是一个钝的三角形或钝角三角形。如果c是最长侧的长度，则A ² + b ² < c ² ，其中a和b是另一侧的长度。
一个内部角度为180°（和共线顶点）的三角形是退化的。右堕落的三角形具有共线顶点，其中两个是一致的。

一个具有相同度量的角度的三角形也具有相同长度的两个侧面，因此它是同步三角形。因此，在一个三角形中，所有角度都具有相同的度量，所有三个侧面的长度相同，因此是等边的。


正确的	钝	急性
	$\quad \underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } _{}$
	斜

基本事实

除非上下文另有规定，否则认为三角形是两维平面的数字（请参见下面的非平面三角形）。因此，在严格的处理中，三角形称为2-单纯形（另请参见polytope ）。欧几里得（Euclid）在公元前300年左右写的元素中，由欧几里得（Euclid）提出了有关三角形的基本事实。

欧几里得空间中三角形的内角的度量总和始终为180度。这个事实等同于欧几里得的平行假设。考虑到两个角度的度量，这允许确定任何三角形的第三角度的度量。三角形的外部角度是一个角度，是一个线性对（并因此补充）与内部角度的角度。三角形的外部角度的度量等于两个内部角度不相邻的内角的度量之和。这是外角定理。任何三角形的三个外角（每个顶点）的度量之和为360度。

相似性和一致性

如果一个三角形的每个角度的度量与另一个三角形中的相应角度相同，则两个三角形被认为相似。相似三角形的相应侧面具有相同比例的长度，并且该特性也足以建立相似性。

关于类似三角形的一些基本定理是：

如果并且仅当两个三角形的一对内角与彼此具有相同的度量，而另一对也具有与彼此相同的度量，则三角形相似。
当且仅当两个三角形的一对相应的边与另一对相应的侧面相同的比例时，并且它们包含的角度具有相同的度量，则三角形相似。（多边形的任何两个侧的随附角度是这两个边之间的内部角度。）
当且仅当两个三角形的三对相应的边都处于相同的比例时，则三角形相似。

两个一致的三角形具有完全相同的大小和形状：所有对相应的内部角度的度量均等，并且所有相应侧面的所有对都具有相同的长度。（这是总共六个平等，但三个通常足以证明一致性。）

一对三角形的一些单独必要和足够的条件是：

SAS假设：三角形中的两个侧面的长度与另一个三角形的两个侧面相同，并且随附的角度具有相同的度量。
ASA：两个内角和三角形中的包含一侧的度量和长度分别与另一个三角形的尺寸和长度相同。（一对角度的包含一侧是它们共有的一侧。）
SSS：三角形的每一侧的长度与另一个三角形的相应一侧相同。
AAS：三角形中的两个角度和一个相应的（不包含）的一侧具有与另一三角形中的尺寸和长度相同的度量和长度。（有时将其称为Aacorrs ，然后在上面包括ASA。）

一些单独的条件是：

斜边腿（HL）定理：右三角形中的斜边和腿的长度与另一个右三角形中的斜长相同。这也称为RHS（右角，斜边，侧面）。
斜边角度定理：一个右三角形中的斜边和急性角度的长度和度量分别与另一个右三角形相同。这只是AAS定理的一个特殊情况。

一个重要的条件是：

侧面角度（或角度侧）条件：如果两个侧面和相应的三角形的非包含角度的长度和度量分别与另一个三角形的侧面相同，那么这是不足以证明的一致;但是，如果给出的角度与两侧的较长一侧相反，则三角形是一致的。斜边签为定理是该标准的特殊情况。侧面角度的条件本身并不能保证三角形是一致的，因为一个三角形可以被钝角，另一个三角形。

当且仅当它们具有相同度量的急性角度时，两个右三角形是相似的。因此，右三角形的侧面长度之间的六个可能比率仅取决于其中一个急性角度的度量。这些比率称为三角比率，通常用作三角函数的定义。

右三角形

中央定理是毕达哥拉斯定理，该定理在任何右三角形中均表示，斜边的长度的平方等于两个其他侧面长度的平方之和。如果斜边的长度为c ，并且腿的长度为a和b ，则定理表明

a^{2}+b^{2}=c^{2}.

相反的是真实的：如果三角形的侧面满足上述方程式，则三角形的角度是正确的，侧面c 。

关于右三角的其他一些事实：

右三角形的急性角度是互补的。

a+b+90^{\circ }=180^{\circ }\Rightarrow a+b=90^{\circ }\Rightarrow a=90^{\circ }-b.

如果右三角形的腿具有相同的长度，那么与这些腿相反的角度具有相同的尺寸。由于这些角度是互补的，因此每个角度都尺寸为45度。通过毕达哥拉斯定理，斜边的长度是腿部时间√2的长度。
在右角的右三角形中，斜角斜角的长度是较短一侧的两倍，较长的侧等于较短的侧面时间√3 ：

c=2a\,

b=a\times {\sqrt {3}}.

对于所有三角形而言，角度和侧面都与宗教和罪行法则有关（也称为余弦统治和正弦统治）。

三角形的存在

侧面条件

三角形不等式指出，三角形的任何两个边的长度的总和必须大于或等于第三侧的长度。仅在归类三角形的情况下，该总和才能等于第三侧的长度。该总和不可能小于第三侧的长度。当且仅当这些侧面长度满足三角形不等式时，存在一个具有三个给定侧长的三角形的三角形。

条件的角度

当且仅当这两个条件都成立时，三个给定角就形成了一个非脱位三角形（确实是它们的无限）：（a）每个角度为正，以及（b）角度总和至180° 。如果允许退化的三角形，则允许其角度为0°。

三角条件

当且仅当以下任何一个条件下，它们都是三角形的三个正角α ， β和γ是三角形的角度：

\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}=1,

\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}+2\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=1,

\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma ),

\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma +2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )=1,

\tan(\alpha )+\tan(\beta )+\tan(\gamma )=\tan(\alpha )\tan(\beta )\tan(\gamma ),

仅当没有一个角度为90°时，最后一个平等（因此，切线函数的值始终是有限的）。

与三角形相关的点，线和圆圈

有成千上万种不同的构造发现与三角形相关的特殊点，满足了一些独特的属性：有关它们的目录，请参见三角形中心的文章百科全书。通常，它们是通过以对称方式与三个边（或顶点）对称相关的三条线来构建的，然后证明这三条线在一个点上相遇：证明这些存在的重要工具是Ceva的定理，这给出了一个。确定何时并发三条线的标准。同样，与三角形相关的线通常是通过证明三个对称构造的点是共线来构建的：梅内劳斯的定理给出了有用的一般标准。在本节中，仅解释了一些最常见的构造。

三角形侧面的垂直分配器是一条直线穿过侧面的中点并垂直于它的直线，即与它形成直角。这三个垂直的双标准在一个点上相遇，三角形的圆周中心通常用o表示；这一点是包围的中心，圆通过所有三个顶点。从上面所述的罪行中可以找到这个圆的直径，称为“圆周”。包皮环的半径称为“ crailradius”。

Thales的定理意味着，如果圆周中心位于三角形的一侧，则相反的角度为正确的角度。如果圆周位于三角形内部，则三角形是急性的。如果圆周位于三角形外，则三角形是钝的。

三角形的高度是穿过顶点的直线，垂直于（即与相对侧形成直角）。相反的一侧称为高度的基部，高度相交的点（或延伸）称为高度的脚。高度的长度是底座和顶点之间的距离。三个高度在一个点上相交，称为三角形的矫形器，通常用h表示。当三角形急性时，矫形器位于三角形内部。

三角形的角度分配器是通过顶点的直线，将相应的角度切成两半。三个角度的双压在一个点上相交，即三角形的circle的中心i表示的浓缩物通常表示。 circle是位于三角形内部并触摸所有三个侧面的圆。它的半径被称为inradius 。还有其他三个重要的圆圈，即excircles ；它们位于三角形外，触摸一侧以及其他两个的扩展。内部和excircle的中心形成了正直系统。

三角形的中值是通过顶点和另一侧的中点的直线，将三角形分为两个相等的区域。这三个中位数在单个点上相交，即三角形的质心或几何barycenter，通常用g表示。刚性三角形物体的质心（从均匀密度的薄片上切出）也是其质量中心：该物体可以在均匀的引力场中的质心平衡。质心切割在比率2：1中的每个中位数，即顶点和质心之间的距离是质心和相对侧中点之间的距离的两倍。

三个侧面的中点和三个高度的脚都位于一个圆圈上，即三角形的九点圆圈。命名的其余三个点是顶点和矫形器之间高度部分的中点。九点圆的半径是包皮环的一半。它触及了circle（在Feuerbach Point ）和三个excriveles 。

欧拉（Euler）的线是穿过矫形器（蓝色），九点圆（红色），质心（橙色）和圆周（绿色）的直线直线

矫形器（蓝点），九点圆（红色）的中心（红色），质心（橙色）和圆周（绿色）都位於单线上，称为Euler的线（红线）。九点圆的中心位于矫正器和圆周中心之间的中点，而质心和圆周中心之间的距离为质心和矫形器之间的一半。 Incircle的中心通常不在Euler的线上。

如果一个人反映通过相同顶点的角度分配器中的中位数，则会获得Symmedian 。三个Symmedians在单个点，三角形的Symmedian点相交。

计算侧面和角度

有各种标准方法用于计算侧面的长度或角度的度量。某些方法适合在右角三角形中计算值；在其他情况下可能需要更复杂的方法。

右三角的三角比率

在右三角形中，正弦，余弦和切线的三角比率可用于查找未知角度和未知侧的长度。三角形的侧面如下：

斜边是与直角相反的一侧，或定义为右角三角形的最长侧，在这种情况下为h 。
相反的一侧与我们感兴趣的角度相反，在这种情况下为a 。
相邻的一侧是与我们感兴趣的角度和直角接触的一侧，因此名称。在这种情况下，相邻的一侧为b 。

正弦，余弦和切线

角度的正弦是相反一侧的长度与斜边的长度的比率。在我们的情况下

\sin A={\frac {\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {a}{h}}\,.

只要包含角度A ，该比率就不取决于所选择的特定右三角形，因为所有这些三角形都是相似的。

角度的余弦是相邻侧的长度与斜边的长度的比率。在我们的情况下

\cos A={\frac {\text{adjacent side}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {b}{h}}\,.

角度的切线是相反一侧的长度与相邻侧长度的比率。在我们的情况下

\tan A={\frac {\text{opposite side}}{\text{adjacent side}}}={\frac {a}{b}}={\frac {\sin A}{\cos A}}\,.

首字母缩写为“ soh-cah-toa ”是这些比率的有用助记符。

逆函数

逆三角函数可用于计算具有任何两个边长的直角三角形的内角。

Arcsin可用于计算一个从对面的长度和斜边长度的角度。

\theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}}}\right)

ARCCO可用于计算从相邻侧的长度和斜边长度的角度。

\theta =\arccos \left({\frac {\text{adjacent side}}{\text{hypotenuse}}}\right)

Arctan可用于计算一个角度，从相对侧的长度和相邻侧的长度计算角度。

\theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite side}}{\text{adjacent side}}}\right)

在入门几何学和三角学课程中，通常使用符号sin ^-1 ，cos ^-1等函数通常会提高到力量，因为这避免了乘法逆和组成逆之间的混淆。

正弦，余弦和切线规则

罪行或正弦规则规定，一侧的长度与其对应相对角的正弦的比例是恒定的，即

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R

，其中r是给定三角形的限制圆的半径。

该定理的另一个解释是，每个具有角度α，β和γ的三角形类似于侧面长度等于sinα，sinβ和sinγ的三角形。该三角形可以通过首先构造直径1的圆来构建，并在其三角形的两个角度上刻上它。该三角形的边长将是Sinα，Sinβ和Sinγ。长度为sinα的侧面与尺寸为α等角度相反。

余弦定律或余弦规则将三角形的未知侧的长度连接到另一侧的长度以及与未知侧相反的角度。根据法律：

对于分别为α，β，γ的边长度为a ， b ， c和角度的三角形，给定两个已知的三角形A和B的已知长度，以及两个已知侧面γ之间的角度（或与未知的角度相反的角度侧c ），要计算第三侧C ，可以使用以下公式：

c^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )

b^{2}\ =a^{2}+c^{2}-2ac\cos(\beta )

a^{2}\ =b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha )

如果已知所有三角形的三个侧面的长度，则可以计算三个角度：

\alpha =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)

\beta =\arccos \left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}\right)

\gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)

当已知两个侧面，一个或两个角度和一个侧面时，可以使用切线或切线规则定律来找到一个侧面或角度。它指出：

{\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.

三角形的解决方案

“三角形解决方案”是主要三角问题：在给出至少三个这些特征时，要找到三角形的缺失特征（三个角度，三个侧面等）。三角形可以位于飞机上或球体上。这个问题通常发生在各种三角应用中，例如地球，天文学，建筑，导航等。

区域

可以通过三角形的一致性来证明三角形的面积，因为平行四边形的一半具有相同的基础长度和高度。

在几何形状中，计算三角形的面积是在许多不同情况下经常遇到的基本问题。最著名和最简单的公式是B是三角形底部的长度，H是三角形的高度或高度。术语“底座”表示任何侧面，“高度”表示垂直线的长度，从基座对面的顶点到包含底座的线。 Euclid证明了三角形的面积是公元前300年的书本元素的平行四角形的一半。在499 CE Aryabhata中，在Aryabhatiya中使用了这种说明的方法（第2.6节）。

尽管很简单，但只有在很容易找到高度的情况下，此公式才有用，这并非总是如此。例如，三角形场的土地测量师可能会发现测量每一侧的长度相对容易，但相对难以构造“高度”。根据对三角形的了解，可以在实践中使用各种方法。三角形区域的其他常用公式使用三角法，侧面长度（苍鹭的公式），矢量，坐标，线积分，PICK的定理或其他属性。

一般欧几里得三角形的进一步公式

本节中的公式对于所有欧几里得三角形都是正确的。

中位数，角度双压，垂直侧表和高度

中位数和侧面是由

{\tfrac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}

和

m_{a}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-{\tfrac {3}{4}}a^{2}}}

,

并等效于m _b和m _c 。

对于另一侧A的角度，内部角度分配器的长度由

w_{A}={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}={\sqrt {bc\left[1-{\frac {a^{2}}{(b+c)^{2}}}\right]}}={\frac {2bc}{b+c}}\cos {\frac {A}{2}},

对于半晶格s ，其中一双层的长度是从顶点到相对侧的位置。

内部垂直等分子由

p_{a}={\frac {2aT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},

p_{b}={\frac {2bT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},

p_{c}={\frac {2cT}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},

侧面和区域在哪里

例如，长度a的一侧来自

h_{a}={\frac {2T}{a}}.

周面和Inradius

以下公式涉及crardius r和inradius r ：

R={\sqrt {\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}};

r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}}};

{\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}

其中H _a等是订阅侧的海拔；

{\frac {r}{R}}={\frac {4T^{2}}{sabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;

和

2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}

.

三角形的两个侧面的产物等于割礼直径D的第三侧的高度：

ab=h_{c}D,\quad \quad bc=h_{a}D,\quad ca=h_{b}D.

相邻三角形

假设两个相邻但非重叠的三角形共享长度F的相同侧并共享相同的包围，以使长度F的侧面是包围的和弦，三角形的侧面长度（ a ， b ， f ）和（ c ， d ， f ），两个三角形一起形成一个循环四边形，侧面长度（ a ， b ， c ， d ）。然后

f^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)}}.\,

质心

令G为带顶点A ， B和C的三角形的质心，让P为任何内部点。那么点之间的距离与

(PA)^{2}+(PB)^{2}+(PC)^{2}=(GA)^{2}+(GB)^{2}+(GC)^{2}+3(PG)^{2}.\,

三角形侧面的平方之和等于从顶点的质心的平方距离总和的三倍：

AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}).

令q _a ， q _b和q _c为从质心到长度a ， b和c的侧面的距离。然后

{\frac {q_{a}}{q_{b}}}={\frac {b}{a}},\quad \quad {\frac {q_{b}}{q_{c}}}={\frac {c}{b}},\quad \quad {\frac {q_{a}}{q_{c}}}={\frac {c}{a}}\,

和

q_{a}\cdot a=q_{b}\cdot b=q_{c}\cdot c={\frac {2}{3}}T\,

对于区域t 。

圆周，矿物和矫形器

Carnot的定理指出，从周围的距离到三个边的距离之和等于周面和Inradius的总和。在这里，只有当该段完全位于三角形之外时，段的长度被认为是负的。该方法对于推论三角形的更抽象形式的属性（例如Lie代数诱导的）特别有用，否则具有与往常的三角形相同的属性。

Euler的定理指出，圆周和中心之间的距离D由

\displaystyle d^{2}=R(R-2r)

或等效

{\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}},

其中r是currradius， r是inradius。因此，对于所有三角形r≥2r ，具有等边三角形的平等。

如果我们表示矫形器将一个高度划分为u和v长的段，另一个高度为段的长度为w和x ，则将第三高的高度分为y和z的段长度，然后uv = wx = yz 。

从侧面到周围的距离等于从相对顶点到矫形器的一半距离。

从顶点到矫形器H的距离的平方和侧面正方形的总和等于Crandius的正方形的十二倍：

AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}=12R^{2}.

角度

除了罪行，余弦定律，切线定律和先前给出的三角存在条件外，任何三角

a=b\cos C+c\cos B,\quad b=c\cos A+a\cos C,\quad c=a\cos B+b\cos A.

莫利的三角仪定理

Morley的三角仪定理指出，在任何三角形中，相邻角三角形的交点的三个点形成一个等边三角形，称为Morley Triangle。

三角形刻有数字

圆锥

如上所述，每个三角形都有一个独特的刻有圆圈（incircle），它与三角形的内部和与所有三个侧面的切线相切。

每个三角形都有一个独特的施泰纳inellipse ，在侧面的中点位于三角形和切线的内部。 Marden的定理展示了如何找到此椭圆的焦点。这个椭圆的区域是三角形的所有三个侧面的任何椭圆形的最大区域。

三角形的Mandart Inellipse是在其excircles的接触点处与三角形切线的椭圆形。

对于三角形ABC中刻有的任何椭圆，让焦点为p和q 。然后

{\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.

凸多边形

每个带有t面积的凸多边形可以刻在面积的三角形中，最多等于2 t 。平均值（专门）的平行四边形。

六边形

Lemoine Hexagon是一种环状六角形，其顶点由三角形的六个侧面与平行于侧面平行的三条线，并通过其Symmedian点。柠檬六角形以简单的形式或自我交流形式，在三角形的三角形内部，三角形的每一侧都有两个顶点。

正方形

每个急性三角形都有三个刻有的正方形（内部的正方形，使得正方形的所有四个顶点都位于三角形的一侧，因此两个正方形位于同一侧，因此正方形的一侧与一侧的一侧重合三角形）。在右三角形中，两个正方形重合，并在三角形的直角上有一个顶点，因此右三角形只有两个不同的刻有刻有的正方形。一个钝的三角形只有一个刻有的正方形，一侧与三角形最长的一侧相吻合。在给定的三角形中，较长的共同侧与较小的铭文正方形有关。如果铭刻的正方形具有长度q _a的一侧，而三角形的长度为a ，则一侧的一侧与正方形的一侧相吻合，则q _a ，a，a，a，a，a， a ，a ，a，a，a， a ，a， a ， a ，a _， a，a，a，a，区域与

q_{a}={\frac {2Ta}{a^{2}+2T}}={\frac {ah_{a}}{a+h_{a}}}.

铭刻广场与三角区域的面积最大的比率是1/2，当A2 = 2T，q = a/2和长度A底部的三角形高度等于A。在同一非观察三角形中，一个刻有一个正方形的侧面与另一个侧面的最小比率是同一极端情况下的两个极端情况。

三角形

从参考三角形的内点，三个侧面的最接近点充当该点的踏板三角形的顶点。如果内部点是参考三角形的周围中心，则踏板三角形的顶点是参考三角侧的中点，因此踏板三角形称为中点三角形或内侧三角形。中点三角形将参考三角划分为四个一致的三角形，这些三角形类似于参考三角。

引用三角形的Gergonne三角形或Intouch Triangle的顶点在参考三角的侧面的三个角度及其界定。参考三角形的饰带三角形的顶点在参考三角形的excircles的侧面（不扩展）的角度。

关于三角形的数字

参考三角形的切向三角形（右三角形除外）是三角形，其侧面位于其顶点的参考三角形界线的切线线上。

如上所述，每个三角形都有一个独特的包皮环，一个圆圈穿过所有三个顶点，其中心是三角形侧面垂直双分配器的相交。

此外，每个三角形都有一个独特的施泰纳（Steiner）围栏，它穿过三角形的顶点，并在三角形的质心上具有中心。在三角形顶点的所有椭圆形中，它具有最小的区域。

Kiepert双曲线是独特的圆锥体，它穿过三角形的三个顶点，即其质心和圆周中心。

在给定凸多边形中包含的所有三角形中，可以在线性时间中找到具有最大区域的三角形。它的顶点可以选择为给定多边形的三个顶点。

指定三角形中点的位置

识别三角形（或外部）中点位置的一种方法是将三角形放置在笛卡尔平面中的任意位置和方向，并使用笛卡尔坐标。尽管出于许多目的方便，但这种方法的缺点是所有点的坐标值取决于平面中的任意位置。

两个系统避免了该功能，因此，一个点的坐标不会受到移动三角形，旋转或反射的影响，例如在镜子中，任何一个都会给出一致的三角形，甚至通过重新缩放它以给出类似的三角形：

三线性坐标指定了一个点与侧面的相对距离，因此坐标表明，从第一侧到其距离第二侧距离的点的距离之比为等。
表格的Barycentric坐标通过相对权重指定了该点的位置，这些权重必须放在三个顶点上，以平衡给定点上原本失重的三角形。

非平面三角形

非平面三角形是一个三角形，不包含在欧几里得平面中。在非欧亚人几何形状中非平面三角形的一些例子是球形几何形状和双曲线几何形状中的双曲线三角形的示例。

尽管平面三角形中内角的测量始终总计为180°，但双曲线三角形的角度的度量为小于180°，而球形三角形的角度的量度则是总和至超过180°的角度。可以通过在负弯曲的表面（例如马鞍表面）上绘制螺旋三角形，并且可以通过在诸如球体等正面弯曲的表面上绘制球形三角形。因此，如果一个人在地球表面绘制一个巨大的三角形，人们会发现其角度的度量之和大于180°。实际上，它将在180°至540°之间。特别是可以在球体上绘制三角形，以使其每个内角的度量等于90°，总计总计270°。

具体而言，在一个领域，三角形的角度的总和是

180°×（1 + 4 F ），

其中f是由三角形包围的球体区域的比例。例如，假设我们在地球表面上绘制一个三角形在北极的顶点，在0°经度的赤道上的点，在90°西经度的赤道上有一个点。后两个点之间的大圆线是赤道，这些点和北极之间的大圆线是经度的线。因此，赤道上的两个点有直角。此外，北极的角度也为90°，因为其他两个顶点的经度差异为90°。因此，该三角形中的角度的总和为90° + 90° + 90°= 270° 。该三角形包围了北半球的1/4（从北极看到的90°/360°），因此围绕着地球表面的1/8，因此在配方F = 1/8中；因此，该公式正确地将三角角的总和称为270°。

从上面的角度和公式来看，我们还可以看到地球的表面是局部平坦的：如果我们在地球表面的一个点附近绘制一个任意的小三角形，则被三角形包围的地球表面的比例F任意接近零。在这种情况下，角度和公式将简化为180°，我们知道这是欧几里得几何学告诉我们在平坦表面上的三角形。

三角形的建筑

矩形是建筑物最受欢迎和最常见的几何形式，因为这种形状易于堆叠和组织。作为标准，可以轻松设计家具和固定装置以适合矩形形状的建筑物。但是，三角形虽然更难从概念上使用，但却提供了很大的力量。由于计算机技术可以帮助建筑师设计创意新建筑，因此，作为建筑物的一部分，三角形的形状越来越流行，并且是某些类型的摩天大楼和建筑材料的主要形状。 1989年在东京，建筑师想知道是否有可能建造一个500层的塔楼，为这个密集的城市提供负担得起的办公空间，但是由于地震的建筑物构成了危险，建筑师认为，如果有三角形的形状，则需要这样建筑物要建造。

在纽约市，作为百老汇纵横交错的主要途径，所产生的街区像三角形一样被切割，建筑物建造在这些形状上。这样的建筑是三角形的扁平铁楼，房地产人承认，它具有“尴尬的空间，不容易容纳现代办公家具”，但并没有阻止该结构成为具有里程碑意义的图标。设计师使用三角形主题在挪威建造了房屋。三角形形状出现在教堂以及包括大学在内的公共建筑中，并为创新的家居设计提供了支持。

三角形很坚固；虽然矩形可以从压力到其一个点之一塌陷成平行四边形，但三角形具有自然强度，可以支持横向压力的结构。除非其侧面弯曲，延伸或破碎，或者其关节断裂，否则三角形不会改变形状。从本质上讲，这三个方面的每一个都支持其他两个方面。相比之下，矩形在结构上更依赖其关节的强度。一些创新的设计师提出，将砖制成不是用矩形的，而是具有三角形的形状，可以在三个维度中结合使用。随着架构的复杂性增加，三角形可能会以新的方式越来越多地使用。三角形在刚度方面很强，但是虽然包装在镶嵌布置上的三角形不如压缩下的六角形（因此自然界中六边形形式的流行）。但是，镶嵌三角形仍然保持悬臂的优势，这是最强的人制造结构之一，即四面体桁架的基础。

三角形