Tobit模型

在统计中，Tobit模型是一类回归模型其中观察到的因变量是审查某种程度上来说。^[1]该术语是由亚瑟·戈德伯格在参照詹姆斯·托宾，^[2][a]谁在1958年开发了该模型，以减轻零充气观察家庭支出的数据耐用商品.^[3][b]因为托宾的方法可以轻松扩展以处理截断和其他非随机选择的样品，^[C]一些作者采用了包括这些情况在内的TOBIT模型的更广泛的定义。^[4]

托宾的想法是修改可能性功能这样它反映了不平等的采样概率每个观察结果都取决于是否潜在因变量落在确定的阈值上方或之下。^[5]对于像托宾原始情况一样，从零下方审查的样本，每个非限制观察的采样概率只是适当的高度密度函数。对于任何极限观察，是累积分布，即不可缺少的低于适当的密度函数的零。因此，TOBIBIBIENIGHE功能是密度和累积分布函数的混合物。^[6]

可能性功能

以下是可能性以及I型TOBIT的日志可能性功能。这是一个从下面审查${\ displaystyle y_ {l}}$当潜在变量${\ displaystyle y_ {j}^{*} \ leq y_ {l}}$。在写出似然函数时，我们首先定义指示功能${\ displayStyle i}$：

${\ displayStyle i（y）= {\ begin {cases} 0＆{\ text {if}} y \ leq y_ {l}，\\ 1＆{\ text {if text {if}} y> y_> y_> y_ {l}。案例}}}}$

接下来，让${\ displaystyle \ phi}$成为标准正常累积分布函数和${\ displaystyle \ varphi}$成为标准正常概率密度函数。对于带有的数据集n观察I型Tobit的可能性功能是

${\ displayStyle {\ Mathcal {l}}（\ beta，\ sigma）= \ prod _ {j = 1}^{n} \ left（{\ frac {\ frac {1} {\ sigma}}}}}}}}}\ frac {y_ {j} -x_ {j} \ beta} {\ sigma}}}} \ right）\ right）x_ {j} \ beta -y_ {l}} {\ sigma}}} \ right）\ right）^{1-i（y__ {j}）}}$

日志的可能性由

${\ displayStyle {\ begin {aligned} \ log {\ mathcal {l}}}（\ beta，\ sigma）＆= \ sum _ {（{\ frac {1} {\ sigma}}} \ varphi \ left（{\ frac {y_ {y_ {j} -x_} -x_ {j} \ beta} \ beta} {\ sigma}}}}}} \ right）\ right）\ right）\ right）y_ {j}））\ log \ left（1- \ phi \ left（{\ frac {x_ {x_ {j} \ beta -y_ {l}}}} {\ sigma}}}}} \ right）\ right）\ right）sum _ {y_ {j}> y_ {l}} \ log \ left（{{\ frac {1} {\ sigma}}}}} \ varphi \ left（{\ frac {y___ {y_ {{\ sigma}}} \ right）\ right）+\ sum _ {y_ {y_ {j} = y_ {l}} \ log \ left（\ phi \ left）beta} {\ sigma}}} \ right）\ right）\ end {aligned}}}}}}}$

修复

上面所述的对数模型不是全球凹的，这使得复杂最大似然估计。奥尔森建议简单的修复化${\ displaystyle \ beta = \ delta /\ gamma}$和${\ displaystyle \ sigma ^{2} = \ gamma ^{ - 2}}}$，导致变换的对数类似性，

${\ displayStyle \ log {\ mathcal {l}}（\ delta，\ gamma）= \ sum _ {y_ {y_ {j}> y_ {l}} \ left \ left \ log {\ log \ log \ gamma +gamma +log \ log \ log \ weled [\ left（\ gamma y_ {j} -x_ {j} \ delta \ right）\ right] \ right \}+\ sum _ {y_ {y_ {j} = y_ {l}}}（\ gamma y_ {l} -x_ {j} \ delta \ right）\ right]}}$

就转换参数而言，它在全球凹入。^[7]

对于被截短的（Tobit II）模型，Orme表明，虽然对数可能不是全局凹的，但在任何凹陷上都是凹的固定点在上述转换下。^[8][9]

一致性

如果关系参数${\ displaystyle \ beta}$通过回归观察到的${\ displaystyle y_ {i}}$上${\ displayStyle x_ {i}}$，由此产生的普通最小二乘回归估计器是不一致。它将产生斜率系数的向下偏置估计值和截距的向上偏置估计。Takeshi Amemiya（1973年）证明了最大似然估计器托宾建议为此模型建议。^[10]

解释

这${\ displaystyle \ beta}$系数不应解释为${\ displayStyle x_ {i}}$上${\ displaystyle y_ {i}}$，就像一个人一样线性回归模型;这是一个常见的错误。相反，应将其解释为（1）变化的组合${\ displaystyle y_ {i}}$在极限之上的那些人中，由高于极限的概率加权；（2）超过极限的概率的变化，由期望值加权${\ displaystyle y_ {i}}$如果以上。^[11]

TOBIT模型的变化

可以通过更改何时何地来产生TOBIT模型的变化审查发生。Amemiya（1985，p。384）将这些变体分为五个类别（TOBIT I型 - TOBIT类型V），其中TOBIT I类型代表上述第一个模型。Schnedler（2005）提供了一个通用公式，以获得TOBIT模型的这些和其他变化的一致的似然估计器。^[12]

类型I。

Tobit模型是一个特殊情况审查回归模型，因为潜在变量${\ displaystyle y_ {i}^{*}}}$当自变量变量时，不能总是观察到${\ displayStyle x_ {i}}$可以观察到。TOBIT模型的常见变化是对一个值进行审查${\ displaystyle y_ {l}}$与零不同：

${\ displayStyle y_ {i} = {\ begin {cases} y_ {i}^{*}＆{\ text {if}} y_}＆{\ text {if}} y_ {i}^{*} \ leq y_ {l}。$

另一个示例是对上面的值进行审查${\ displaystyle y_ {u}}$.

${\ displayStyle y_ {i} = {\ begin {cases} y_ {i}^{*}＆{\ text {if}} y_}＆{\ text {if}} y_ {i}^{*} \ geq y_ {u}。$

当${\ displaystyle y_ {i}}$同时从上和下进行审查。

${\ displayStyle y_ {i} = {\ begin {cases} y_ {i}^{*}＆{\ text {if}} y_ {l} <y_ {y} <y_ {i}^{*}\ y_ {l}＆{\ text {if}} y_ {i}^{*} \ leq y_ {l}，\\ y_ {u}\ geq y_ {u}。\ end {cases}}}}$

其余的模型将显示为从下方0到0的界限，尽管可以将其推广到类型I中。

II型

II型TOBIT模型引入了第二个潜在变量。^[13]

${\ displayStyle y_ {2i} = {\ begin {cases} y_ {2i}^{*}＆{\ text {if text {if}} y_ {1i}^{*}^{*}> 0，\\ 0，\\ 0＆{\ text {\ fext {if} if} if}} y_ {1i}^{*} \ leq 0. \ end {cases}}}}}$

在I型TOBIT中，潜在变量吸收了参与过程和感兴趣的结果。II型TOBIT允许参与过程（选择）和感兴趣的结果是独立的，以可观察到的数据为条件。

这赫克曼选择模型属于II型Tobit，^[14]有时被称为heckit之后詹姆斯·赫克曼.^[15]

III型

III型引入了第二个观察到的因变量。

${\ displayStyle y_ {1i} = {\ begin {cases} y_ {1i}^{*}＆{\ text {if text {if}} y_ {1i}^{*}^{*}> 0，\\ 0，\\ 0} y_ {1i}^{*} \ leq 0. \ end {cases}}}}}$

${\ displayStyle y_ {2i} = {\ begin {cases} y_ {2i}^{*}＆{\ text {if text {if}} y_ {1i}^{*}^{*}> 0，\\ 0，\\ 0＆{\ text {\ fext {if} if} if}} y_ {1i}^{*} \ leq 0. \ end {cases}}}}}$

这赫克曼模型属于这种类型。

类型IV

IV类型引入了第三个观察到的因变量和第三个潜在变量。

${\ displayStyle y_ {1i} = {\ begin {cases} y_ {1i}^{*}＆{\ text {if text {if}} y_ {1i}^{*}^{*}> 0，\\ 0，\\ 0} y_ {1i}^{*} \ leq 0. \ end {cases}}}}}$

${\ displayStyle y_ {2i} = {\ begin {cases} y_ {2i}^{*}＆{\ text {if text {if}} y_ {1i}^{*}^{*}> 0，\\ 0，\\ 0＆{\ text {\ fext {if} if} if}} y_ {1i}^{*} \ leq 0. \ end {cases}}}}}$

${\ displayStyle y_ {3i} = {\ begin {cases} y_ {3i}^{*}}}} y_ {1i}^{*} <0。\ end {cases}}}}}$

类型V。

类似于II类型，在V型中仅符号${\ displaystyle y_ {1i}^{*}}}$观察到。

${\ displayStyle y_ {2i} = {\ begin {cases} y_ {2i}^{*}＆{\ text {if text {if}} y_ {1i}^{*}^{*}> 0，\\ 0，\\ 0＆{\ text {\ fext {if} if} if}} y_ {1i}^{*} \ leq 0. \ end {cases}}}}}$

${\ displayStyle y_ {3i} = {\ begin {cases} y_ {3i}^{*}}}} y_ {1i}^{*}>0。\ end {cases}}}}}$

非参数版本

如果潜在的潜在变量${\ displaystyle y_ {i}^{*}}}$不是正态分布，必须使用分位数而不是矩来分析可观察的变量${\ displaystyle y_ {i}}$。鲍威尔的外壳估计器提供了一种实现这一目标的可能方法。^[16]

申请

例如，TOBIT模型已应用于影响赠款收据的估计因素，包括分配给可能申请这些赠款的次国政府的财务转移。在这些情况下，赠款收件人无法收到负数，因此数据被剩下。例如，达尔伯格和约翰逊（2002）^[17]分析115个市政当局的样本（其中42个获得了赠款）。Dubois和Fattore（2011）^[18]使用TOBIT模型通过应用波兰次国政府来研究各种因素在欧盟基金收据中的作用。但是，数据可以在高于零的点上进行左右，并具有错误指定的风险。两项研究都采用概率和其他模型来检查鲁棒性。TOBIT模型也已应用于需求分析，以适应某些商品支出为零的观察结果。在相关的TOBIT模型应用中，非线性TOBIT回归模型系统已用于共同估计具有均质，异性和广泛的异质分析变体的品牌需求系统。^[19]

也可以看看

• 截断的正常障碍模型
• 有限的因变量
• 整流器（神经网络）
• 截短的回归模型
• 动态未观察到的效果模型§审查因变量
• 概率模型， 名字Tobit是托宾，他们的创造者及其与Probit模型的相似之处的双关语。

笔记

参考

进一步阅读

• Amemiya，Takeshi（1985）。“ Tobit模型”.发达计量经济学。牛津：罗勒·布莱克韦尔。 pp。360–411。ISBN 0-631-13345-3.
• 布雷恩，理查德（1996）。“审查数据的TOBIT模型”。回归模型：审查，选择或截断的数据。千橡：鼠尾草。 pp。12–33。ISBN 0-8039-5710-6.
• Gouriéroux，基督徒（2000）。“ Tobit模型”.定性因变量的计量经济学。纽约：剑桥大学出版社。pp。170–207。ISBN 0-521-58985-1.
• 国王，加里（1989）。“具有非随机选择的模型”.统一政治方法论：统计学的类似理论。剑桥大学出版社。pp。208–230。ISBN 0-521-36697-6.
• Maddala，G。S.（1983）。“审查和截断的回归模型”。计量经济学的有限依赖性和定性变量。纽约：剑桥大学出版社。pp。149–196。ISBN 0-521-24143-X.