斯坦纳树问题

在组合数学中，以雅各布·斯坦纳（Jakob Steiner）的名字命名的Steiner树问题或最小施泰纳树问题，是组合优化的一类问题的伞。尽管可以在许多设置中提出施泰纳树问题，但它们都需要一组对象和预定义的目标函数的最佳互连。一个众所周知的变体通常与史坦纳树问题同义词使用，是施泰纳树问题。给定一个非导向的图表，具有非负边缘的重量和一部分顶点（通常称为终端），图中的Steiner树问题需要一棵最小重量的树，其中包含所有终端（但可能包括其他顶点）并最小化总重量它的边缘。众所周知的变体是欧几里得施泰纳树问题和直线的最小施碱树问题。

图形中的施泰纳树问题可以看作是其他两个著名的组合优化问题的概括：（非负）最短路径问题和最小跨越树问题。如果图形中的施泰纳树问题完全包含两个终端，则它可以减少找到最短路径。另一方面，如果所有顶点都是终端，则图中的施泰纳树问题等同于最小跨树。但是，尽管在多项式时间内可以解决非负最短路径和最小跨越树问题，但史坦纳树问题尚无这种解决方案。它的决策变体询问给定输入是否具有小于给定阈值的重量树的重量树是NP的完整性，这意味着优化变体（在给定图中要求最小重量树）是NP-HARD 。实际上，该决定变体是KARP最初的21个NP完整问题之一。图形中的Steiner树问题具有电路布局或网络设计中的应用。但是，实际应用通常需要变化，从而导致大量的Steiner树问题变体。

施泰纳树问题的大多数版本都是NP-HARD，但是可以在多项式时间内解决一些受限案例。尽管令人讨厌的最坏情况的复杂性，但即使在大规模的现实世界中，也可以在实践中有效地解决了几种施泰纳树问题的变体，包括图形中的施泰纳树问题和直线施坦纳树问题。

欧几里得斯坦纳树

原始问题以已被称为Euclidean Steiner树问题或几何施主树问题的形式说明：给定n个点，目标是通过最小总长度连接它们，以任何两个方式连接点可以直接或通过其他点和线段互连。可以证明，连接线段除非在端点处并形成树，因此不会相互互相相交，因此是问题的名称。

长期以来，已经考虑了n = 3的问题，并迅速扩展到找到具有最小总长度的单个集线器连接到所有n个给定点的星网网络的问题。然而，尽管高斯的一封信中提出了完整的坦纳树问题，但它的第一个认真待遇是在1934年用VojtěchJarník和MilošKössler撰写的1934年论文中。本文长期以来被忽略了，但它已经包含“几乎所有施泰纳树的一般特性”，后来归因于其他研究人员，包括从平面到更高维度的问题的概括。

对于欧几里得施泰纳问题，添加到图的点（施泰纳点）必须具有三个度，并且入射到该点的三个边缘必须形成三个120度角（请参见Fermat Point ）。因此，施罐树可以拥有的最大施材点是n -2，其中n是给定点的初始数量。

对于n = 3，有两种可能的情况：如果给定点形成的三角形具有小于120度的所有角度，则该解决方案由位于费马特点的施泰纳点给出；否则，该解决方案由三角形的两个侧面给出，该角度以120度或更高的角度相交。

对于一般n ，欧几里得施泰纳树问题是np-hard ，因此尚不清楚是否可以使用多项式时间算法找到最佳的解决方案。但是，对于欧几里得施泰纳树，有一个多项式时间近似方案（PTA），即在多项式时间内可以找到近乎最佳的解决方案。尚不清楚欧几里得施泰纳树问题是否是NP完整的，因为尚不清楚复杂性np的成员资格。

直线坦纳树

直线施坦纳树问题是平面中几何施剂树问题的变体，在该变体中，欧几里得距离被直线距离替换。问题出现在电子设计自动化的物理设计中。在VLSI电路中，电线路由是由通常受设计规则限制的电线进行的，仅在垂直和水平方向上运行，因此直线施罐树问题可用于建模具有两个以上端子的网的路由。

施泰纳树在图和变体中

在加权图的背景下，已经对施泰纳树进行了广泛的研究。可以说，原型是图形中的施泰纳树问题。令g =（ v ， e ）为一个无方向的图形，具有非负边缘权重c，让s⊆V为顶点的子集，称为终端。施泰纳树是G中的一棵树。问题有两个版本：在与Steiner树相关的优化问题中，任务是找到一条最小的Steiner树；在决策问题中，边缘权重是整数，任务是确定是否存在其总重量不超过预定义的自然数k 。决策问题是KARP的21个NP完整问题之一。因此，优化问题是NP-HARD 。图表中的施泰纳树问题应用于研究和行业的各种问题，包括多播路由和生物信息学。

这个问题的特殊情况是当g是完整的图时，每个顶点v∈V对应于公制空间中的一个点，每个e∈E的边缘权重w （ e ）对应于空间中的距离。否则，边缘的重量满足了三角形的不平等。该变体被称为公制的施泰纳树问题。给定（非中）施泰纳树问题的实例，我们可以在多项式时间中将其转换为公制施泰纳树问题的等效实例。转换保留了近似因子。

虽然欧几里得版本允许PTA，但众所周知，公制的Steiner树问题是apx complete ，即，除非p = np ，否则无法实现多项式时间内任意接近1的近似值。有一个多项式时间算法，该算法将最小坦碱树近似于 ;但是，近似于一个因素是NP-HARD。对于距离距离为1和2的Steiner树问题的受限情况，已知一种1.25个附属算法。 Karpinski和Alexander Zelikovsky为Steiner树问题的密集实例构建了PTA。

在图形问题的特殊情况下，用于准三位式图的Steiner树问题需要S在G中至少包含每个边缘的至少一个端点。

施泰纳树问题也已在更高的维度和各种表面上进行了研究。在球体，圆环，投射平面，宽和狭窄的锥体等上发现了施泰纳最小树的算法。

Steiner树问题的其他概括是与K边缘连接的Steiner网络问题和K -Vertex连接的Steiner网络问题，其中的目标是找到与K边缘连接的图或K -Vertex相关图。比任何连接的图形。一个进一步的概括是可生存的网络设计问题（SNDP） ，其中任务是将每个顶点对与给定的数字（可能是0）的边缘或顶点 - 偶发路径连接起来。

在公制空间的一般环境以及可能无限的很多点中，施泰纳问题也已被指出。

近似施泰纳树

可以通过计算由终端顶点引起的图形闭合子图的最小覆盖树来近似的一般图形施主树问题，如Kou等人于1981年首次发布。图G的度量闭合是完整的图形，其中每个边缘在G中的节点之间的最短路径距离加权。该算法产生了一棵树，其重量在最佳施泰纳树重量的2-2/ t因子内，其中T是最佳施泰纳树中的叶子的数量；可以通过考虑在最佳施泰纳树上进行旅行销售人员之旅来证明这一点。该近似解决方案可在O（| S | | V |²）多项式时间中计算，首先求解全对最短路径问题以计算度量闭合，然后通过解决最小生成树问题。

Takahashi和Matsuyama在1980年发表了另一种近似施罐树的流行算法。他们的解决方案通过从任意的顶点开始逐步建立Steiner树，并反复将最短的路径从树中添加到最短的路径到最接近的STERTEX 。尚未添加。该算法还具有O（| S | | V |²）运行时间，并产生一棵树的重量在2-2/|之内。 S |最佳。

1986年，Wu等人。通过避免全对最短路径的预先摄入量，在运行时间上得到了巨大改进。取而代之的是，他们采用类似的方法，即通过从|的森林开始，以计算最低跨度树的算法来计算最低跨度树。 S |使用类似于Dijkstra的算法的广度优先搜索同时脱节树木，并同时“种植”它们，但从多个初始顶点开始。当搜索遇到不属于当前树的顶点时，两棵树将合并为一树。重复此过程，直到仅保留一棵树为止。通过使用堆（数据结构）来实现优先级队列和不相交的数据结构来跟踪每个访问的顶点所属的树，此算法可实现O（| e | log | v |）运行时间，尽管它没有提高了Kou等人的2-2/ T成本比率。

一系列论文为最小施剂树问题提供了近似算法，其近似值比在2-2/ T比上有所改善。该序列在2000年以罗宾斯和Zelikovsky的算法达到顶峰，通过在最低成本终端跨越树上迭代改善，将比率提高到1.55。然而，最近，拜克（Byrka）等人。被证明使用线性编程松弛和称为迭代，随机舍入的技术近似。

斯坦纳树的参数化复杂性

已知一般的图形施主树问题是固定参数可进行的，终端数量是Dreyfus-Wagner算法作为参数的数量。 Dreyfus-Wagner算法的运行时间是，在哪里是图形的顶点的数量是一组终端。存在更快的算法，运行时间到了或者，如果体重很小，时间，哪里是任何边缘的最大重量。上述算法的缺点是它们使用指数空间。存在于多项式空间算法中运行时间和时间。

众所周知，一般的图形施主树问题没有运行的参数化算法时间到了，在哪里是最佳施泰纳树的边缘数，除非设置盖问题具有算法有些时候了，在哪里和分别是设定覆盖问题的实例的元素数量和集合数。此外，众所周知，除非，即使是通过最佳施泰纳树的边缘数量以及所有边缘权重为1的参数。

施泰纳树的参数化近似

虽然图形坦源树问题不接受多项式内核，除非通过终端数量进行参数，它确实允许多项式大小的近似内核方案（PSAKS）：对于任何可以计算一个多项式大小的核，该核只只会松开解决方案质量的因素。

当通过数字参数化施工施罐问题时最佳解决方案中的非末端（Steiner顶点）的问题是W [1] -HARD （与终端数的参数化相反，如上所述）。同时，该问题是APX算法，因此除非p = np ，否则不接受PTA 。但是，存在一个参数化的近似方案，该方案对于任何计算 - Approximation In 时间。此参数化也存在PSAK。