第二个衍生物

二次函数的第二个导数是恒定的

微积分中,函数f第二个导数二阶导数f的衍生物的衍生物。在非正式的情况下,第二个导数可以用作“变化率的变化率”;例如,对像在时间方面的位置的第二个导数是对象的瞬时加速度,或对象的速度在时间上变化的速率。在莱布尼兹符号中:

如果A是加速度,则V是速度, T是时间, X是位置,D是瞬时的“ delta”或变化。最后一个表达式是时间( x )相对于时间的第二个导数。

函数的图表上,第二个导数对应于图形的曲率凹度。带有正二衍生物的函数的图是向上凹的,而具有相反方式的负第二个导数曲线的函数图。

第二个衍生功率规则

如果应用两次,第一衍生物的功率规则将产生第二个衍生功率规则,如下所示:

符号

函数的第二个导数通常表示 。那是:

当使用Leibniz的衍生物符号时,将相对于自变量x的因变量y的第二个导数写成该表示法源自以下公式:

例子

给定功能

F的导数是功能 F的第二个导数是 ,即

与图形的关系

一个情节 。切线是蓝色的,曲线是凹入的,曲线凹陷的绿色,在拐点处红色(0, /2和 )。

函数f的第二个导数可用于确定f图的凹度。第二个衍生物为正的函数将被凹入(也称为凸),这意味着切线线将位于函数图下方。同样,一个二个导数为负的函数将被凹入(也简单地称为凹),其切线线将位于函数图上方。

转折点

如果函数的第二个导数更改符号,则该函数的图将从凹槽向下切换到凹面,反之亦然。发生这种情况的点称为拐点。假设第二个导数是连续的,则必须在任何拐点处取零值,尽管并非每个点第二个衍生物为零的每个点都必须是拐点的点。

第二个导数测试

第二个导数和图之间的关系可用于测试函数的固定点是否(即 )是本地最大值本地最小值。具体来说,

  • 如果 , 然后在本地最大
  • 如果 , 然后在当地最低限度
  • 如果 ,第二个衍生测试对此一无所知 ,可能的拐点。

第二个衍生物产生这些结果的原因可以通过现实世界的类比观察。考虑起初以很高的速度前进的车辆,但加速度为负。显然,车辆在速度达到零的位置的位置将是距起始位置的最大距离 - 此时,速度将变为负,车辆将逆转。最小值也是如此,使用的车辆起初具有非常负速度但正加速度。

限制

可以为第二个导数写一个限制

该极限称为第二个对称衍生物。请注意,即使(通常的)第二个衍生物不存在,第二个对称衍生物也可能存在。

右边的表达可以写为差异商的差异商

该限制可以视为序列第二个差异的连续版本。

但是,上述限制的存在并不意味着功能具有第二个衍生物。上面的限制仅提供了计算第二个导数的可能性,但没有提供定义。反例是符号功能 ,定义为:

符号函数在零时不连续,因此是第二个导数不存在。但是上述限制存在于

二次近似

正如第一个衍生物与线性近似有关,第二个导数与函数f的最佳二次近似有关。这是二次函数,其第一和第二个衍生物与给定点相同。最佳二次近似值的公式围绕点x = a is

该二次近似是x = a的函数的二阶泰勒多项式

第二个衍生物的特征值和特征向量

对于边界条件的许多组合,可以获得第二个导数的特征值和特征向量的明确公式。例如,假设和均匀的迪里奇边界条件(即, 其中v是特征向量),特征值以及相应的特征向量(也称为特征函数)是这里, 为了

有关其他众所周知的案例,请参见第二个衍生物的特征值和特征向量

对更高维度的概括

黑森

第二个导数通过第二部分衍生物的概念将其推广到更高的维度。对于功能fr 3r ,其中包括三个二阶部分

和混合部分

如果该函数的图像和域都具有潜力,则将它们拟合到称为Hessian对称矩阵中。该矩阵的特征值可用于实现第二个导数测试的多变量类似物。 (另请参见第二个部分衍生测试。)

拉普拉斯人

第二个衍生物的另一个常见概括是拉普拉斯主义者。这是差分运算符 (或者 ) 被定义为

函数的拉普拉斯良好等于梯度差异,以及Hessian矩阵的痕迹

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