人口动态

人口动态是用于建模和研究人群作为动态系统的大小和年龄组成的数学类型。

历史

传统上，人口动态一直是数学生物学的主要分支，该分支具有超过220年的历史，尽管上个世纪在数学生物学的范围上大大扩展了。

人口动态的开头被广泛认为是马尔萨斯的工作，被表达为马尔萨斯增长模型。根据马尔萨斯（Malthus）的说法，假设条件（环境）保持恒定（ ceteris paribus ），则人口将成倍增长（或下降）。该原理为后续的预测理论提供了基础，例如19世纪初期本杰明·戈姆普茨（Benjamin Gompertz）和皮埃尔·弗朗索瓦（PierreFrançoisVerhulst）的工作，例如19世纪初期，他们对马尔萨斯人口统计学模型进行了完善和调整。

FJ Richards在1959年提出了更一般的模型公式，西蒙·霍普金斯（Simon Hopkins）进一步扩展了该模型，其中Gompertz，Verhulst以及Ludwig Von Bertalanffy的模型被涵盖为一般配方的特殊情况。 Lotka – Volterra Predator-Prey方程是另一个著名的例子，也是替代的Arditi-Ginzburg方程。

逻辑功能

简化的人口模型通常以四个关键变量（四个人口过程）开头，包括死亡，出生，移民和移民。用于计算人口人群变化和进化的数学模型没有外部影响的假设。模型在数学上可能更为复杂，其中“ ...几个竞争假设同时面对数据”。例如，在不发生移民和移民的封闭系统中，人口中个人数量的变化率可以描述为：

其中n是正在研究的特定实验人群中的个体总数， b是出生的数量， d是特定实验或模型中每个人的死亡人数。代数符号b ， d和r代表普通人群的出生率，死亡和每个人的变化率，即内在的增加率。该公式可以理解，因为人口的变化率（ DN / DT ）等于出生的死亡（ B -D ）。

使用这些技术，Malthus的增长人口原则后来转变为一种数学模型，称为Logistic方程：

其中n是生物量密度， a是最大的人均变化率， k是人口的承载能力。公式可以读取如下：人口变化率（ DN / DT ）等于增长（ AN ），该增长受到承载能力的限制（1- n / k ） 。从这些基本的数学原理中，人口生态学的学科扩展到了一个调查领域，该领域询问了真实人群的人口统计学，并根据统计模型对这些结果进行了测试。人口生态学领域经常使用有关生活史和矩阵代数的数据来开发有关繁殖力和生存的投影矩阵。此信息用于管理野生动植物股票和设定收获配额。

内在增加率

如果没有密度依赖性的力量，人口大小增加的速率称为固有的增加速率。这是

衍生物是人口增加的速度， n是人口规模， r是内在增加的速率。因此， r是每个人的最大理论增长率，即最大人口增长率。该概念通常用于昆虫种群生态学或管理中，以确定环境因素如何影响害虫种群增加的速度。另请参见指数级的人口增长和物流人口增长。

流行病学

种群动态与数学生物学研究的另一个活跃领域重叠：数学流行病学，影响人群的传染病研究。已经提出和分析了各种病毒蔓延模型，并提供了可能应用于健康政策决策的重要结果。

几何种群

Operphtera brumata种群是几何。

下面的数学公式可以用于建模几何种群。几何种群在节制间隔之间在离散的生殖周期中生长，而不是没有指定的繁殖时期生长的人群。说n表示每一代人的个人数量将繁殖。

其中N T是T代的人口大小，而N T +1是N t之后的一代人的种群规模； b t是t和t + 1之间人口中的出生总和（即出生率）；这是几代人之间增加的移民的总和； D T是世代之间死亡的总和（死亡率）； E T是从几代人之间移出人口的总和。

当没有迁移到人口或从人口迁移时，

假设在这种情况下，出生和死亡率是常数，那么出生率减去死亡率等于R ，即增加的几何率。

其中λ = 1 + r是有限的增加速率。
在T + 1 n t +1 = λnt
在T + 2 n t +2 = λnt +1 = λλnt = λ2n t
在T + 3 n t +3 = λnt +2 = λλ2n t = λ3n t

所以：

其中λt是升高的有限增加速率（例如，对于t + 2 [两代]→ λ2 ，对于t + 1 [一代]→ λ1 = λ ，对于t [在任何世代之前 - 时间零]→ λ0 = 1

两倍的时间

G. stearothothothomophilus的倍增时间（TD）短，而大肠杆菌和脑膜炎。如果2种物种的加倍时间甚至不到10分钟，则2种细菌物种的生长速率将因意外的数量级而有所不同。在诸如动物，真菌，植物和生物的真核生物中，两倍的时间比细菌长得多。与细菌相比，这降低了真核生物的增长率。 G. stearothothrophilus ， E。coli和N.脑膜炎分别在最佳条件下分别具有20分，30分钟和40分钟的双倍时间。如果细菌种群可以无限期地生长（它们不生长），那么每个物种中的细菌数量将接近无穷大（∞）。然而，所有细菌中的g. stearothothermophilus细菌的百分比将接近100％，而大肠杆菌和脑膜炎链球菌的百分比合计将接近0％。该图是对这种假设情况的模拟。实际上，细菌种群的大小不会无限期增长，这三种物种需要不同的最佳条件，以将其加倍时间带到最小值。
几分钟的时间 ％是G. stearothothophilus
30 44.4%
60 53.3%
90 64.9%
120 72.7%
→∞ 100%
几分钟的时间 ％是大肠杆菌
30 29.6%
60 26.7%
90 21.6%
120 18.2%
→∞ 0.00%
几分钟的时间 ％是脑膜炎
30 25.9%
60 20.0%
90 13.5%
120 9.10%
→∞ 0.00%
免责声明：细菌种群是逻辑而不是几何。然而，双倍时间适用于两种类型的人群。

人口的加倍时间（ T d ）是人口增长到其规模两倍的时间。我们可以使用公式来计算几何群体的加倍时间： n t = λtn 0 ，通过利用我们对人口（ n ）的大小（ 2 n）后两倍（2 n ）的知识来计算。

通过对数可以找到加倍时间。例如：

或者：

所以：

几何种群的半衰期

人口的半衰期是人口所花费的时间下降到其规模的一半。我们可以使用公式来计算几何种群的半衰期： n t = λt n 0 ，通过利用我们对半衰期后种群（ n ）的一半（n）为一半（ 0.5 n ）的事实的知识。

其中t 1/2是半衰期。

半衰期可以通过进行对数来计算（请参见上文）。

几何（R）生长常数

其中δn是两代之间人口大小的变化（ T + 1和T之间）。

有限（ λ ）生长常数

几何和物流种群之间的数学关系

在几何种群中， R和λ表示生长常数（请参见2和2.3 ）。然而，在逻辑种群中，固有的增长率（也称为内在增加速率（ R ））是相关的生长常数。由于几何种群中的复制几代不会重叠（例如每年再现一次），但在指数级的人群中会繁殖，因此通常认为几何和指数人群是相互排斥的。但是，这两组常数在下面共享数学关系。

指数人口的增长方程是

在E是Euler的数字的情况下，通用常数通常适用于逻辑方程， R是内在的增长率。

为了找到几何种群与物流人群之间的关系，我们假设这两个模型的N T相同，并且我们扩展到以下平等：

给我们和

进化游戏理论

主要文章：进化游戏理论

进化游戏理论是罗纳德·费舍尔（Ronald Fisher）在1930年的文章《自然选择遗传理论》中首次开发的。 1973年，约翰·梅纳德·史密斯（John Maynard Smith）正式化了一个中心概念，即进化稳定的策略。

种群动态已用于多种控制理论应用中。进化游戏理论可用于不同的工业或其他情况。从工业上讲，它主要用于多输入 - 多数输出（ MIMO ）系统，尽管它可以用於单输入单输出（ SISO ）系统。申请的其他一些例子是军事运动，水分配，分布式发电机的派遣，实验室实验，运输问题，沟通问题等。

振荡

由于年度环境振荡，植物的人口规模经历了显著的振荡。植物动力学比哺乳动物，鸟类或双伏尔昆虫的季节性更高。当与疾病引起的扰动结合使用时，这通常会导致混乱的振荡。

在流行文化中

计算机游戏Simcity ， Sim Earth和MMORPG Ultima Online等人试图模拟其中一些人口动态。

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