现代投资组合理论

现代投资组合理论MPT )或均值分析是组装资产投资组合的数学框架,以便以给定的风险水平最大化预期收益。这是投资多元化的形式化和扩展,即拥有不同类型的金融资产的风险要比仅拥有一种类型的想法要小。它的关键见解是,资产的风险和回报不应自行评估,而应通过如何促进投资组合的整体风险和回报来评估。回报的差异(或其转换,标准偏差)被用作风险的度量,因为当资产合并为投资组合时,它是可处理的。通常,回报的历史差异和协方差被用作这些数量的前瞻性版本的代理,但是其他更复杂的方法可用。

经济学家哈里·马科维茨(Harry Markowitz)在1952年的一篇文章中介绍了MPT,后来他获得了诺贝尔经济科学纪念奖。请参阅Markowitz模型

意大利统计学家Bruno de Finetti的一篇文章于1941年发表(意大利语),该文章未像第二次世界大战期间一样读,这是该理论的基础,但Markowitz在Markowitz在《投资杂志》中所说的并不众所周知管理,第4卷,第3卷,2006年第三季度。

数学模型

风险和预期回报

MPT假设投资者不愿冒险,这意味着给出了两个提供相同预期收益的投资组合,投资者将更喜欢风险较小的投资组合。因此,只有在预期收益率上涨时,投资者才会承担增加风险。相反,想要更高预期收益的投资者必须接受更多的风险。对于所有投资者来说,确切的权衡将不相同。不同的投资者将根据个人风险规避特征来评估权衡不同。这意味着,如果存在第二个投资组合的风险与预期的回报率更高,则理性投资者将不会投资投资组合,即,如果存在这种替代投资组合,则存在更好的预期收益。

在模型下:

  • 投资组合退货是组成资产回报的比例加权组合
  • 投资组合返回波动是所有资产对的组件资产相关性ρIJ的函数( ij )。波动率可以洞悉与投资相关的风险。波动率越高,风险越高。

一般来说:

  • 预期收益:
在哪里是投资组合的回报, 是资产的回报i是组件资产的加权 (也就是说,投资组合中资产“ i”的比例,以便 )。
  • 投资组合返回差异:
,
在哪里是(样本)对资产I的定期收益的标准偏差,以及是资产IJ的回报之间的相关系数。或者,可以将表达式写为:
,
在哪里为了 , 或者
,
在哪里是两个资产上周期性回报的(样本)协方差,或者表示为 ,,,, 或者
  • 投资组合返回波动率(标准偏差):

对于两国资产组合:

  • 投资组合预期回报:
  • 投资组合差异:

对于三级资产组合:

  • 投资组合预期回报:
  • 投资组合差异:

通过表达矩阵符号中涉及的数量,可以简化代数。安排n个风险资产的回报向量 ,第一个元素是第一个资产的返回,第二个资产的第二个元素等等。在列矢量中安排他们的预期收益 ,以及他们的方差和协方差矩阵中的差异和协方差 。考虑一个风险资产的投资组合 。然后:

  • 投资组合预期回报:

  • 投资组合差异:

对于有回报的无风险资产进行投资的情况 ,权重矢量的权重不算到1,而投资组合预期的回报变为 。投资组合方差的表达式不变。

多样化

投资者可以降低投资组合风险(尤其是 )仅通过持有不完全正相关的仪器的组合(相关系数 )。换句话说,投资者可以通过拥有多元化的资产组合来减少其个人资产风险的影响。多元化可能允许相同的投资组合预期收益,风险降低。 Markowitz首先提出了构建最佳投资组合的平均方向框架,此后已得到其他经济学家和数学家的加强和改进,他们继续考虑了该框架的局限性。

如果所有资产对的相关性为0(它们是完全不相关的),则投资组合的返回差异是资产时间在资产时间段的返回差异的所有平方的所有资产的总和(投资组合标准偏差是平方根,这个总和)。

如果所有资产对的相关性为1(它们是完全正相关的),则投资组合返回的标准偏差是资产返回的标准偏差的总和,该标准偏差由投资组合中持有的分数加权。对于给定的投资组合权重和给定资产回报的标准偏差,所有相关性为1的情况给出了投资组合收益的最高标准偏差。

没有无风险资产的有效边界

有效的边界。双曲线有时被称为“ Markowitz子弹”,如果没有无风险的资产,则是有效的边界。有了无风险的资产,直线是有效的边界。

MPT是一种平均变化理论,它比较了投资组合的预期(平均)回报与同一投资组合的标准偏差。图像显示了垂直轴上的预期返回,以及水平轴上的标准偏差(波动率)。波动率通过标准偏差来描述,它是风险的衡量标准。回报 - 标准偏差空间有时称为“预期回报与风险”的空间。可以在此风险指望的回报空间中绘制风险资产的每种可能组合,并且所有此类可能的投资组合的收集都定义了该空间中的一个区域。该区域的左边界是双曲线的,在没有无风险资产的情况下,双曲线边界的上部是有效的边界(有时称为“ Markowitz子弹”)。沿着该上边缘的组合代表投资组合(包括无风险资产的持股),其预期收益水平的风险最低。同等地,位于高效边界上的投资组合代表了为给定风险水平提供最佳预期收益的组合。双曲线边界上部的切线是资本分配线(CAL)

对于有效边界的计算,优选矩阵

以矩阵形式,对于给定的“风险承受能力” ,通过最小化以下表达方式可以找到有效的边界:

在哪里

  • 是投资组合权重的向量 (重量可能为负);
  • 是投资组合资产回报的协方差矩阵
  • 是“风险承受能力”因素,其中0导致投资组合,风险最小,并且导致投资组合在边境上无限遥远,而预期的回报和风险无限。和
  • 是预期收益的向量。
  • 是投资组合返回的差异。
  • 是投资组合的预期回报。

上面的优化找到了前沿上的点,如果水平绘制了投资组合返回差异而不是标准偏差,则边界斜率为Q。整体上的边界是Q上的参数。

Harry Markowitz开发了一个特定的程序来解决上述问题,称为临界线算法,该算法可以处理资产上的其他线性约束,上限和下限,并且被证明可以与半阳性的确定协方差矩阵一起使用。在应用程序JavaScript和其他几种语言中,在Visual Basic中存在实施关键线算法的实现示例。

此外,许多软件包,包括MATLABMicrosoft ExcelMathematicaR ,都提供通用的优化例程,以便具有潜在的警告(数值准确性,对协方差矩阵的正面确定性的要求,都可以解决上述问题。 )。

指定有效边界的另一种方法是在预期的投资组合返回上参数进行参数这个问题的版本要求我们最小化

约束

用于参数 。使用Lagrange乘法器可以轻松解决此问题,该拉格朗日乘数可导致以下方程式系统:

两个共同基金定理

上述分析的一个关键结果是两个共同基金定理。该定理指出,可以通过在边境上保留任何两个给定的投资组合来产生高效边界上的任何投资组合;后两个给定的投资组合是定理名称中的“共同基金”。因此,在没有无风险资产的情况下,即使所有可访问的东西都是一对有效的共同基金,投资者也可以实现任何理想的有效投资组合。如果所需的投资组合在边境上的位置在两个共同基金的位置之间,则两个共同基金将以正数为准。如果所需的投资组合超出了两个共同基金所跨越的范围,那么其中一个共同基金必须卖空(负数为负),而另一个共同基金的投资规模必须大于可用的金额投资(超额由另一个基金借款资助)。

无风险资产和资本分配线

无风险资产是支付无风险利率的(假设)资产。实际上,短期政府证券(例如美国国库账单)被用作免风险资产,因为它们支付了固定的利率,并且具有极低的违约风险。无风险资产的回报差异为零(因此无风险);它也与任何其他资产都不相关(根据定义,由于其方差为零)。结果,当它与资产资产的任何其他资产或投资组合结合在一起时,回报的变化与风险变化线性相关,因为组合中的比例有所不同。

当引入无风险资产时,图中显示的半行是新的有效边界。它与纯粹的夏普比率最高的纯风险投资组合中的双曲线相切。它的垂直截距代表了一个投资组合,其中100%的持有在无风险资产中;与双曲线的相似之处代表了一个没有无风险持有的投资组合,并且在交通合物中持有的资产的100%出现在截然不同的位置;这些要点之间的点是投资组合,其中包含风险的切线组合和无风险资产的正数;超出切相点的一半线上的点是投资组合,涉及无风险资产的负持有,以及在相切投资组合中投入的金额等于投资者初始资本的100%以上。该高效的半行称为资本分配线(CAL),其公式可以证明为

在此方程式中, P是与Markowitz子弹相切的风险资产的子门户, F是无风险的资产, C是投资组合PF的组合。

根据图,将无风险资产引入作为投资组合的可能组成部分的引入改善了可用风险指向的回报组合的范围,因为除了在切线组合中,半线提供了比双曲线更高的预期回报在每个可能的风险水平上都可以做到。线性效率基因座上的所有点可以通过无风险资产的持有和切线组合的结合来实现这一事实,称为一个共同基金定理,所谓的共同基金是切线组合。

资产定价

上述分析描述了个人投资者的最佳行为。资产定价理论基于此分析,使MPT可以在这种情况下获得正确定价资产的预期回报。

直观地(在具有理性投资者的完美市场中),如果相对于其他人的安全价格昂贵 - 即价格太多 - 需求太多 - 将会下降,其价格将相应下降;如果便宜,需求和价格也会增加。这将持续到所有此类调整都停止 - 一种“市场平衡”状态。在这个均衡中,相对供应将相等的相对需求:鉴于价格与供求关系的关系,由于所有证券的风险对奖励都是“相同的”,因此,在任何完全不同的投资组合中,每种安全性的比例都将相同。

因此,更正式的是,由于每个人都以相同的比例持有危险资产,即相同的比例(即相切的比例)在市场均衡中,因此风险资产的价格在市场均衡中,因此他们的预期收益会进行调整,以使其在切线投资组合与将风险资产提供给市场的比率相同。如下所示,预期回报的结果随后。

系统的风险和特定风险

具体风险是与单个资产相关的风险 - 在投资组合中,可以通过多元化来降低这些风险(特定风险“取消”)。特定风险也称为多样化,独特,非系统性或特殊风险。系统性风险(又称投资组合风险或市场风险)是指所有证券的风险 - 除了以下所述销售短暂的销售,系统的风险不能多样化(在一个市场中)。在市场投资组合中,资产特定风险将在可能的程度上多样化。因此,系统的风险等同于市场组合的风险(标准偏差)。

由于只有在提高市场投资组合的风险预期收益特征时才购买安全性,因此安全风险的相关措施是它增加了市场组合中的风险,而不是孤立的风险。在这种情况下,从历史上观察到并给出了资产的波动及其与市场投资组合的相关性。 (有几种资产定价的方法,试图通过对资产回报矩的随机特性进行建模来定价 - 这些方法通常称为条件资产定价模型。)

可以通过在一个投资组合中使用长位置和短职位的策略来管理一个市场内的系统风险,从而创建“市场中性”投资组合。因此,市场中性投资组合将与更广泛的市场指数不相关。

资本资产定价模型

资产回报取决于今天资产支付的金额。付费的价格必须确保市场投资组合的风险 /回报特性在添加资产时会提高。 CAPM是一种模型,它为投资者提供的无风险利率和整体市场风险提供了市场资产的理论所需预期收益(即折现率)。 CAPM通常表示:

  • β, beta是对整个市场运动的资产敏感性的度量。通常通过对历史数据的回归找到Beta。从资产对总体投资组合风险的贡献的意义上讲,超过一个超过一个的beta表示超过平均“风险”;低于1的Beta表示高于平均风险贡献。
  • 是市场溢价,是市场投资组合预期的预期回报率超过风险利率的预期回报。

派生如下:

(1)当将额外的风险资产( a)添加到市场组合中时,对风险和预期收益的增量影响是公式中获得两国资产组合的公式。这些结果用于得出适合资产的折现率。

  • 更新的投资组合风险=
因此,添加了投资组合的风险=
但是由于资产的重量将非常低。总体市场,
即其他风险=
  • 更新的预期返回=
因此,额外的预期回报=

(2)如果资产( a)的价格正确,则通过将其添加到市场组合中获得的风险与预期收益率的投资者的改善至少将至少(均衡,完全)与收益相匹配。将这笔钱花在增加市场组合的股份上。假设是,投资者将以无风险利率借入的资金购买资产, ;这是理性的

因此:
IE :
IE : 自从
是“ beta”, 提到的退货 - 资产回报与市场回报之间的协方差除以市场回报的差异 - 即资产价格对市场投资组合价值的行动的敏感性(另请参见Beta(Finance)§在市场上添加资产文件夹)。

可以使用以下回归方程式从统计上估算该方程:

其中称为资产的αIβI是资产的beta系数而SCL是安全特征线

一旦资产的预期回报, ,使用CAPM计算,资产的未来现金流量可以使用此费率将其现值折现为其现值,以确定资产的正确价格。风险较高的股票将具有更高的beta,并将以更高的速度打折;敏感的股票较低的股票将具有较低的BETA,并以较低的速度打折。从理论上讲,当其观察到的价格与使用CAPM派生折现率计算的价值相同时,将正确定价。如果观察到的价格高于估值,则资产被高估;它以太低的价格被低估了。

批评

尽管理论上重要性,但对MPT的批评者质疑它是否是理想的投资工具,因为其金融市场模式在许多方面与现实世界不符。

MPT使用的风险,回报和相关度量是基于预期值,这意味着它们是关于未来的统计陈述(在上述方程式中,回报的期望值是明确的,并且在差异协方差的定义中隐含) 。这样的措施通常无法捕获风险和回报的真实统计特征,这些特征通常遵循高度偏斜的分布(例如对数正态分布),并且除了降低波动性外,还会引起回报的增长。在实践中,投资者必须根据方程式中这些价值的资产回报的历史测量和波动性来代替预测。通常,这种预期价值无法考虑到生成历史数据时不存在的新情况。

从根本上说,投资者限制了过去市场数据中的关键参数,因为MPT试图根据损失的可能性来建模风险,但没有说明为什么会发生这些损失。所使用的风险测量本质上是概率的,而不是结构性的。与许多工程方法的风险管理方法相比,这是一个主要区别。

期权理论和MPT与核能[工厂]所做的概率风险评估至少具有一个重要的概念差异。 PRA是经济学家所说的结构模型。系统及其关系的组成部分是在蒙特卡洛模拟中建模的。如果阀门X失败,则会导致泵Y上的背压损失,导致流向Z的流量下降,依此类推。

但是在黑色 - choles方程式和MPT中,没有试图解释价格变化的基本结构。各种结果只是给出概率。而且,与PRA不同,如果没有特定系统级事件(例如流动性危机)的历史,则无法计算其机率。如果核工程师以这种方式进行风险管理,那么他们将永远无法计算特定工厂崩溃的机率,直到同一反应堆设计中发生了几起类似的事件。

-道格拉斯·W·哈伯德(Douglas W. Hubbard)《风险管理失败》 ,第1页。 67,John Wiley&Sons,2009年。 ISBN 978-0-470-38795-5

数学风险衡量也仅在反映投资者真正关注的程度的程度上也很有用,这绝不会使在实践中没有人关心的变量最小化。尤其是,方差是一种对称度量,其数量异常高的回报与异常低回报一样风险。损失厌恶的心理现像是,投资者比收益更关心损失,这意味着我们直觉的风险概念本质上从根本上是不对称的。还有许多其他风险措施(例如连贯的风险措施)可以更好地反映投资者的真正偏好。

现代投资组合理论也受到了批评,因为它假设回报遵循高斯分布。在1960年代, Benoit MandelbrotEugene Fama已经表明了这一假设不足,并提出了使用更通用的稳定分布Stefan MittnikSvetlozar Rachev提出了在这种情况下得出最佳投资组合的策略。最近,纳西姆·尼古拉斯·塔勒布(Nassim Nicholas Taleb)也批评了现代投资组合理论,写道:

股票市场崩溃(1987年)后,他们奖励了两位理论家哈里·马科维茨(Harry Markowitz)和威廉·夏普(William Sharpe),他们在高斯基地上建立了精美的柏拉图式模型,为现代投资组合理论做出了贡献。简而言之,如果您删除了他们的高斯假设并将价格视为可扩展的,那么您将留下热空气。诺贝尔委员会本可以测试Sharpe和Markowitz的模型,就像在互联网上出售的Quack补救措施一样,但斯德哥尔摩似乎没有人考虑过。

-纳西姆·N·塔利布(Nassim N. Taleb), 《黑天鹅》:极不可能的影响, 277,兰登书屋,2007年。ISBN978-1-4000-6351-2

逆势投资者价值投资者通常不赞成现代投资组合理论。一个反对意见是,MPT依赖于有效的市场假设,并将股价波动用作风险的替代。约翰·邓普顿爵士认为多元化是一个概念,但也认为MPT的理论基础是值得怀疑的,并得出了结论(如一位传记作者所描述的):“以不可靠和不相关的统计输入为基础建立投资组合的观念,例如历史性的统计输入波动率注定要失败。”

一些研究认为,在某些情况下,“天真多样化”在可用的投资选择中平均分配资本可能比MPT具有优势。

当应用于某些资产宇宙时,学者已经确定了Markowitz模型,因为它对模型不稳定性的敏感性,例如在高度相关的资产宇宙中可能出现的模型不稳定性。

扩展

自MPT在1952年推出以来,已经尝试了许多尝试改进模型,尤其是通过使用更现实的假设。

后现代投资组合理论通过采用非正态分布,不对称和脂肪尾的风险度量来扩展MPT。这有助于其中一些问题,但没有其他问题。

黑色 - 上升人模型优化是无约束的Markowitz优化的扩展,该优化在风险和收益的输入上包含了相对和绝对的“视图”。

与理性选择理论的联系

现代投资组合理论与理性选择理论的主要公理不一致,最值得注意的是单调性公理,指出,如果投资于投资组合X的概率将比投资更多的钱,那么比投资于投资组合,那么理性投资者应该喜欢xy 。相比之下,现代投资组合理论是基于不同的公理,称为方差厌恶,并可能建议以较低的差异为基础进行投资。 MacCheroni等。描述的选择理论是最接近现代投资组合理论的理论,同时满足单调性公理。另外,均值差异分析是通过适当的偏差风险度量替换差异导致的理性选择理论。

其他应用程序

在1970年代,来自MPT的概念进入了区域科学领域。在一系列开创性的作品中,迈克尔·康罗伊(Michael Conroy)使用投资组合理论方法对经济中的劳动力进行了建模,以检查劳动力的增长和可变性。接下来是关于经济增长与波动之间关系的悠久文献。

最近,现代投资组合理论已被用来模拟社会心理学中的自我概念。当自我概念组成的自我属性构成一个多样化的投资组合时,就会在情绪和自尊心等个人水平上的心理成果要比自我概念未被发现时更稳定。该预测已在涉及人类受试者的研究中得到证实。

最近,现代投资组合理论已用于建模信息检索中文档之间的不确定性和相关性。鉴于查询,其目的是最大化排名文档列表的总体相关性,同时最大程度地减少排名列表的总体不确定性。

项目组合和其他“非财务”资产

除金融工具外,一些专家将MPT应用于项目和其他资产的投资组合。当在传统的金融投资组合外应用MPT时,必须考虑不同类型的投资组合之间的一些区别。

  1. 就实际目的而言,金融投资组合中的资产是不断排除的,而项目的投资组合则是“笨拙的”。例如,尽管我们可以计算出3个股票的最佳投资组合头寸是44%,35%,21%,但项目组合的最佳位置可能不允许我们简单地更改在项目上花费的金额。项目可能全部或全部或一无所有,或者至少具有无法分开的逻辑单元。投资组合优化方法必须考虑项目的离散性质。
  2. 金融投资组合的资产是流动的;它们可以在任何时间点进行评估或重新评估。但是,启动新项目的机会可能会受到限制,并且可能在有限的时间窗口中发生。如果没有沉没成本的损失,就无法放弃已经启动的项目(即,半完整项目的恢复/打捞价值几乎没有)。

这些都不一定会消除使用MPT和此类投资组合的可能性。他们只是简单地表明需要使用一组数学表达的额外的约束来运行优化,这些约束通常不适用于金融投资组合。

此外,现代投资组合理论的最简单元素几乎适用于任何类型的投资组合。通过记录给定收益可以接受多少风险来捕获投资者风险承受能力的概念可以应用于各种决策分析问题。 MPT使用历史差异来衡量风险,但是像主要项目这样的资产组合没有明确的“历史差异”。在这种情况下,MPT投资边界可以用更一般的术语来表达,例如“ ROI的机会低于资本成本”或“损失一半以上投资的机会”。当根据预测和可能的损失的不确定性方面提出风险,则该概念可以转移到各种类型的投资中。

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