现代投资组合理论

现代投资组合理论MPT), 或者均值分析,是组装资产投资组合的数学框架预期收益最大化给定的风险水平。这是形式化和扩展多样化在投资中,拥有不同类型的金融资产的想法要比仅拥有一种类型的想法要小。它的主要见解是,不应自行评估资产的风险和回报,而应如何促进投资组合的整体风险和回报。它使用方差资产价格作为风险的代理。[1]

经济学家哈里·马克维茨在1952年的文章中介绍了MPT,[2]后来他被授予诺贝尔经济科学纪念奖;看Markowitz模型.

数学模型

风险和预期回报

MPT假设投资者是避开风险的,这意味着给出了两个提供相同预期收益的投资组合,投资者将更喜欢风险较小的投资组合。因此,只有在预期收益率更高的情况下,投资者才会承担增加风险。相反,想要更高预期收益的投资者必须接受更多的风险。对于所有投资者来说,确切的权衡将不相同。不同的投资者将根据个人风险规避特征来评估权衡不同。这意味着一个合理的如果存在第二个投资组合,投资者将不会投资投资组合风险指望的返回概况 - i.e。

在模型下:

  • 投资组合返回是比例加权组合组成资产的回报。
  • 投资组合返回波动相关性ρIJ组件资产的所有资产对(ij)。波动率可以洞悉与投资相关的风险。波动率越高,风险越高。

一般来说:

  • 预期收益:
在哪里是投资组合的回报,是资产的回报i是组件资产的加权(即投资组合中资产“ I”的比例)。
  • 投资组合返回差异:
在哪里是(样本)在资产上定期收益的标准偏差i, 和是个相关系数资产回报之间ij。或者,可以将表达式写为:
在哪里为了, 或者
在哪里是两个资产上周期性收益的(样本)协方差,或者表示为或者.
  • 投资组合返回波动率(标准偏差):

为一个两资产文件夹:

  • 投资组合返回:
  • 投资组合差异:

为一个三个资产文件夹:

  • 投资组合返回:
  • 投资组合差异:

多样化

投资者可以降低投资组合风险(尤其是)简单地保留并非完全积极的乐器组合相关相关系数)。换句话说,投资者可以通过举行一个多元化资产投资组合。多元化可能允许相同的投资组合预期收益,风险降低。Markowitz首先提出了构建最佳投资组合的平均方向框架,此后,其他经济学家和数学家对此进行了加强和改进,他们继续考虑了该框架的局限性。

如果所有资产对的相关性为0(它们是完全不相关的),则投资组合的返回差异是资产时间在资产时间返回差异的所有平方的所有资产的总和(投资组合标准偏差为平方根是平方根)这个总和)。

如果所有资产对的相关性为1(它们是完全正相关的),那么投资组合返回的标准偏差是资产返回标准偏差的总和,该标准偏差由投资组合中的分数加权加权。对于给定的投资组合权重和给定资产回报的标准偏差,所有相关性为1的情况给出了投资组合收益的最高标准偏差。

没有无风险资产的有效边界

有效的边界。双曲线有时被称为“ Markowitz子弹”,如果没有无风险资产,则是有效的边界。使用无风险的资产,直线是有效的边界。

MPT是一种均值的理论,它比较了投资组合与同一投资组合的标准偏差的预期(平均)回报。该图显示了垂直轴上的预期返回,以及水平轴上的标准偏差(波动率)。波动率通过标准偏差来描述,它是风险的衡量标准。[3]回报 - 标准偏差空间有时称为“预期回报与风险”的空间。可以在此风险指望的回报空间中绘制风险资产的每种可能组合,并且所有此类可能的投资组合的收集都定义了该空间中的一个区域。该区域的左边界是双曲的,[4]双曲线边界的上部是有效的边界在没有无风险资产的情况下(有时称为“ Markowitz子弹”)。沿着该上边缘的组合代表投资组合(包括无风险资产的持股),其预期收益水平的风险最低。同等地,位于高效边界上的投资组合代表了为给定风险水平提供最佳预期收益的组合。双曲线边界上部的切线是资本分配线(CAL).

矩阵对于有效边界的计算,首选。

以矩阵形式,对于给定的“风险承受能力”,通过最小化以下表达方式可以找到有效的边界:

在哪里

  • 是投资组合权重的向量(重量可能为负);
  • 是个协方差矩阵对于投资组合中资产的回报;
  • 是“风险承受能力”因素,其中0导致投资组合,风险最小,并且导致投资组合在边境上无限遥远,而预期的回报和风险无限。和
  • 是预期收益的向量。
  • 是投资组合返回的差异。
  • 是投资组合的预期回报。

以上优化发现边境斜率的斜率是q如果投资组合返回差异而不是标准偏差,则水平绘制。整体的边界是参数q.

哈里·马克维茨开发了解决上述问题的特定程序,称为关键线算法[5]可以处理资产上的上限和下限的其他线性约束,并被证明可与半阳性的确定协方差矩阵一起使用。关键线算法实施的示例存在应用程序的视觉基础[6]JavaScript[7]以及其他几种语言。

此外,许多软件包,包括MATLABMicrosoft ExcelMathematicar,提供通用优化例程,以便使用这些问题可以解决上述问题,并具有潜在的警告(数值准确性差,对协方差矩阵的积极确定性的要求...)。

指定有效边界的另一种方法是在预期的投资组合返回上参数进行参数这个问题的版本要求我们最小化

约束

用于参数。使用一个问题可以轻松解决此问题拉格朗日乘数这导致了以下方程式的线性系统:

两个共同基金定理

上述分析的一个关键结果是两个共同基金定理.[8][9]该定理指出,可以通过将任何两个给定投资组合的组合在边境上保存,可以生成高效边界上的任何投资组合;后两个给定的投资组合是定理名称中的“共同基金”。因此,在没有无风险资产的情况下,即使所有可访问的东西都是一对有效的共同基金,投资者也可以实现任何理想的有效投资组合。如果所需的投资组合在边境上的位置位于两个共同基金的位置之间,则两个共同基金将以正数为准。如果所需的投资组合超出了两个共同基金所跨越的范围,那么其中一个共同基金必须卖空(负数为负),而另一个共同基金的投资规模必须大于可用的金额投资(超额由另一基金借款资助)。

无风险资产和资本分配线

无风险资产是支付A的(假设)资产无风险费率。实际上,短期政府证券(例如美国)财政账单)用作无风险资产,因为它们支付了固定的利率,并且具有异常低的利率默认风险。无风险资产的回报差异为零(因此无风险);它也与任何其他资产都不相关(根据定义,由于其方差为零)。结果,当它与资产的任何其他资产或投资组合结合在一起时,回报的变化与风险变化线性相关,因为组合中的比例有所不同。

当引入无风险资产时,图中显示的半行是新的有效边界。它与抛物线的抛物线相距很高夏普比率。它的垂直截距代表了一个投资组合,其中100%的持股无风险资产;与抛物线的相似之处代表了一个投资组合,没有无风险持有的持有量,而在交通组合中持有的资产的100%出现在相切点;这些点之间的点是投资组合,其中包含危险的切线投资组合和无风险资产的正数;超越切相点的一半线的点是投资组合,涉及无风险资产的负持有,以及在切实投资组合中投入的金额,等于投资者初始资本的100%以上。这个高效的半行称为资本分配线(CAL)及其公式可以证明是

在这个公式中p是与Markowitz子弹相切的危险资产的子门户,F是无风险资产,并且C是投资组合的组合pF.

根据图,将无风险资产作为投资组合的可能组成部分的引入改善了可用风险指向的回报组合的范围,因为除了在切线组合中,半线提供了比抛物线更高的预期回报在每个可能的风险水平上都可以做到。线性高效基因座上的所有点可以通过无风险资产的持有和切线组合的组合来实现这一事实。一个共同基金定理[8]共同基金提到的是切明组合。

资产定价

以上分析描述了个人投资者的最佳行为。资产定价理论以下面的方式基于此分析。由于每个人都以相同比例的危险资产相互占有相同的比例(即相互切实组合给出的比例),在市场均衡中,风险资产的价格,因此他们的预期收益将调整,以使得相切组合中的比率为一个。与将风险资产提供给市场的比率相同。因此,相对供应将等于相对的需求。MPT在这种情况下得出了正确定价资产的预期收益。

系统的风险和特定风险

具体风险是与单个资产相关的风险 - 在投资组合中,可以通过多元化来降低这些风险(特定风险“取消”)。特定风险也称为多元化,独特,非系统性或特殊风险。系统的风险(又称投资组合风险或市场风险)是指所有证券共同的风险卖空如下所述,系统的风险不能多样化(在一个市场中)。在市场投资组合中,资产特定风险将在可能的程度上多样化。因此,系统的风险等同于市场组合的风险(标准偏差)。

由于只有在改善市场投资组合的风险预期回报特征时才购买安全性,因此安全风险的相关措施是它增加了市场组合的风险,而不是孤立的风险。在这种情况下,从历史上观察到并给出了资产的波动及其与市场投资组合的相关性。(有几种资产定价方法,试图通过对资产回报矩的随机特性进行建模来定价 - 这些方法通常称为条件资产定价模型。)

可以通过在一个投资组合中使用长位置和短职位的策略来管理一个市场中的系统风险,从而创建“市场中性”投资组合。因此,市场中性投资组合将与更广泛的市场指数不相关。

资本资产定价模型

资产回报取决于今天资产支付的金额。付费的价格必须确保市场投资组合的风险 /回报特性在添加资产时会提高。这CAPM是一个模型,鉴于投资者可用的无风险利率以及整个市场的风险,它将用于市场中资产的理论预期收益(即折现率)。CAPM通常表示:

  • β,,beta,是对整个市场运动敏感的衡量标准;通常可以通过回归关于历史数据。从资产对总体投资组合风险的贡献的意义上讲,超过一个超过一个的Beta表示超过平均“风险”;低于一个低于平均风险的beta表示。
  • 是市场溢价,是市场投资组合预期的预期回报率超过风险利率的预期回报。

派生如下:

(1)当额外的风险资产时,对风险和预期收益的增量影响,一个,被添加到市场组合中,m,从公式下进行两级资产组合。这些结果用于得出适合资产的折现率。

  • 更新市场组合的风险=
因此,添加了投资组合的风险=
但是,由于资产的重量相对较低,
即其他风险=
  • 市场投资组合的预期收益=
因此,额外的预期回报=

(2)如果有资产,一个,价格正确,通过将其添加到市场组合中,其风险与指望的回报率的改善,m,至少将与在市场投资组合增加的股份上花费这笔钱的收益相匹配。假设是,投资者将以无风险利率借入的资金购买资产,;这是理性的.

因此:
IE。 :
IE。 :
是“ beta”,返回 - 协方差在资产回报和市场回报之间除以市场回报的差异 - 即资产价格对市场投资组合价值的敏感性(另请参见Beta(金融)§向市场组合增加资产)。

这个方程可能是估计的统计使用以下回归方程:

其中αi被称为资产α,βi是资产的beta系数SCL是安全特性线.

一旦资产的预期回报,,使用CAPM计算,未来现金流资产可以是打折到他们目前的价值使用此费率来确定资产的正确价格。风险较高的股票将具有更高的beta,并将以更高的速度打折;敏感较低的股票将具有较低的BETA,并以较低的速度打折。从理论上讲,当其观察到的价格与使用CAPM派生折现率计算的价值相同时,资产的定价正确。如果观察到的价格高于估值,则资产被高估;它以太低的价格被低估了。

批评

尽管理论上重要性,但对MPT的批评者质疑它是否是理想的投资工具,因为其金融市场模式在许多方面与现实世界不符。[10][1]

MPT使用的风险,回报和相关措施是基于预期值,这意味着它们是关于未来的统计陈述(在上述方程式中,回报的预期价值是明确的,并且在定义中隐含方差协方差)。这样的措施通常无法捕获风险和回报的真实统计特征,这些特征通常遵循高度偏斜的分布(例如对数正态分布)并可以产生,除了减少挥发性,还膨胀回报的增长。[11]实际上,投资者必须根据方程式中这些价值的资产回报和波动性的历史测量来代替预测。通常,这种预期价值未能考虑到生成历史数据时不存在的新情况。[12]

从根本上讲,投资者被估计过去市场数据的关键参数所困扰,因为MPT试图根据损失的可能性来建模风险,但没有说明为什么会发生这些损失。使用的风险测量是概率本质上,不是结构性。与许多工程方法相比,这是一个主要区别风险管理.

选项理论和MPT至少有一个重要的概念差异概率风险评估由核电[植物]完成。PRA是经济学家所说的结构模型。系统的组成部分及其关系是建模的蒙特卡洛模拟。如果阀门X失败,则会导致泵Y上的背压损失,导致流向Z的流量下降,依此类推。

但是在黑色 - choles方程式和MPT,没有试图解释价格变化的基本结构。各种结果只是给出概率。而且,与PRA不同,如果没有特定系统级事件的历史,例如流动性危机,无法计算它的机率。如果核工程师以这种方式进行风险管理,那么他们将永远无法计算特定工厂崩溃的机率,直到同一反应堆设计中发生了几起类似事件。

- 道格拉斯·W·哈伯德(Douglas W. Hubbard)风险管理的失败,p。 67,John Wiley&Sons,2009年。ISBN978-0-470-38795-5

数学风险度量也仅在反映投资者真正关注的程度上也很有用 - 绝对可以最大程度地减少任何在实践中没有人关心的变量。特别是,方差是一种对称措施,其数量异常高的回报与异常低回报一样风险。心理现象损失规避是投资者比收益更关心损失的想法,这意味着我们的直觉概念本质上是不对称的。还有许多其他风险措施(例如连贯的风险措施)最好反映投资者的真正偏好。

现代投资组合理论也受到了批评,因为它假设回报遵循高斯分布。在1960年代已经Benoit Mandelbrot尤金·法玛(Eugene Fama)表明该假设不足,并提出了更通用的使用稳定分布反而。Stefan MittnikSvetlozar Rachev提出了在这种情况下得出最佳投资组合的策略。[13][14][15]最近,纳西姆·尼古拉斯·塔勒布(Nassim Nicholas Taleb)还以此为基础批评现代投资组合理论:

股票市场崩溃(1987年)后,他们奖励了两位理论家哈里·马科维茨(Harry Markowitz)和威廉·夏普(William Sharpe),他们在高斯基地上建立了精美的柏拉图式模型,为所谓的现代投资组合理论做出了贡献。简而言之,如果您删除了他们的高斯假设并将价格视为可扩展的,那么您将留下热空气。诺贝尔委员会本可以测试夏普和马科维茨的模型,就像在互联网上出售的Quack补救措施一样,但斯德哥尔摩似乎没有人考虑过。

- 纳西姆·N·塔利布(N. Taleb),黑天鹅:极不可能的影响,p。277,兰登书屋,2007年。ISBN978-1-4000-6351-2

逆势投资者价值投资者通常不赞成现代投资组合理论。[16]一个反对是MPT依靠有效的市场假设并将股价波动用作风险的替代品。

一些研究认为,在某些情况下,“天真多样化”在可用的投资选择中平均分配资本可能比MPT具有优势。[17]

扩展

自MPT在1952年推出以来,已经尝试了许多尝试改进模型,尤其是通过使用更现实的假设。

后现代投资组合理论通过采用非正态分布,不对称和脂肪尾量的风险度量来扩展MPT。[18]这有助于其中一些问题,但没有其他问题。

黑色 - 上升人模型优化是不受约束的Markowitz优化的扩展,该优化在风险和回报的输入中包含相对和绝对的“视图”。

与理性选择理论的联系

现代投资组合理论与主公理不一致理性选择理论,最著名的是单调性公理,指出,如果投资投资组合X将有概率的返还比投资投资组合更多的钱y,那么理性投资者应该更喜欢Xy。相反,现代投资组合理论基于不同的公理,称为方差厌恶,[19]并可能建议投资y基于它具有较低的差异。MacCheroni等。[20]描述的选择理论是最接近现代投资组合理论的理论,同时满足了单调性公理。或者,均值偏差分析[21]是由适当替换差异代替差异而产生的理性选择理论偏差风险度量.

其他应用程序

在1970年代,MPT的概念找到了进入领域的方式区域科学。在一系列开创性的作品中,迈克尔·康罗伊(Michael Conroy)使用投资组合理论方法对经济劳动力进行了建模,以检查劳动力的增长和可变性。接下来是关于经济增长与波动之间关系的悠久文献。[22]

最近,现代投资组合理论已被用来模拟社会心理学中的自我概念。当自我概念组成的自我属性构成一个多样化的投资组合时,那么在个人层面上的心理成果(例如情绪和自尊)应该比自我概念未被发现时更稳定。该预测已在涉及人类受试者的研究中得到证实。[23]

最近,现代投资组合理论已用于建模信息检索中文档之间的不确定性和相关性。鉴于查询,目的是最大化排名文档列表的总体相关性,同时最大程度地减少排名列表的总体不确定性。[24]

项目组合和其他“非财务”资产

一些专家除了金融工具外,还将MPT应用于项目和其他资产的投资组合。[25][26]当在传统的金融投资组合外应用MPT时,必须考虑不同类型的投资组合之间的一些区别。

  1. 就实际目的而言,金融投资组合中的资产是不断排除的,而项目的投资组合则是“块状”。例如,尽管我们可以计算出3个股票的最佳投资组合头寸是44%,35%,21%,但项目组合的最佳位置可能不允许我们简单地更改在项目上花费的金额。项目可能是全部或全部或一无所有,或者至少具有无法分开的逻辑单元。投资组合优化方法必须考虑项目的离散性质。
  2. 金融投资组合的资产是流动的;它们可以在任何时间点进行评估或重新评估。但是,启动新项目的机会可能会受到限制,并且可能在有限的时间窗口中发生。如果没有损失沉没成本(即,半完整项目几乎没有恢复/打捞值)。

这些都不一定会消除使用MPT和此类投资组合的可能性。他们只是简单地表明需要使用一组数学表达的额外的约束来运行优化,这些约束通常不适用于金融投资组合。

此外,现代投资组合理论的一些最简单元素几乎适用于任何类型的投资组合。通过记录给定收益可以接受多少风险来捕获投资者风险承受能力的概念可以应用于各种决策分析问题。MPT使用历史差异作为衡量风险的衡量标准,但是像主要项目这样的资产组合没有明确定义的“历史差异”。在这种情况下,MPT投资边界可以用更一般的术语来表达,例如“ ROI的机会低于资本成本”或“损失一半以上投资的机会”。当根据预测和可能的损失的不确定性方面放置风险,则该概念可以转移到各种类型的投资中。[25]

也可以看看

参考

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  4. ^参见幻灯片的底部6这里
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进一步阅读

外部链接