变质学
MetAmathematics是使用数学方法对数学本身的研究。这项研究产生了元心理，这是有关其他数学理论的数学理论。强调纳尔伯特（ David Hilbert）试图确保20世纪初期数学基础的尝试（也许是该术语本身的创建）。 MetAmaTics提供了“一种严格的数学技术，用于研究数学和逻辑的各种基础问题”（Kleene 1952，第59页）。变质学的一个重要特征是它强调从系统内部和外部系统之间的推理区分。对此的非正式例证将命题“ 2+2 = 4”分类为属于数学的命题，同时将命题分类为“ 2+2 = 4'是有效的，为属于metAmathematics。
历史
关于数学本身的变质元素最初与19世纪的普通数学定理区分开来，以关注当时所谓的数学基础危机。理查德（Richard）的悖论（理查德（Richard），1905年）关于英语中实数的某些“定义”是一个例子，说明了如果一个人无法区分数学和metAmathematics，很容易发生这种矛盾。在著名的罗素悖论上可以说类似的话（所有不包含自己的集合的集合是否包含自己？）。
变质学与数学逻辑密切相关，因此，在19世纪末和20世纪初，这两个领域的早期历史在很大程度上重叠。最近，数学逻辑通常包括对新的纯数学研究，例如集合理论，类别理论，递归理论和纯模型理论，这与变质学无关。
严重的变质反射始于Gottlob Frege的工作，尤其是他于1879年出版的Begriffsschrift 。
大卫·希尔伯特（David Hilbert）是第一个在20世纪初期（见希尔伯特（Hilbert）的计划）召唤“ metarematics”一词的人。在他的手中，这意味着类似于当代证明理论，其中使用限制方法来研究各种公理化数学定理（Kleene 1952，p。55）。
该领域的其他重要人物包括贝特兰·罗素（Bertrand Russell），索拉夫·斯科莱姆（ Thoralf Skolem） ，埃米尔·邮（ Emil Post） ，阿隆佐教堂（ Alonzo Church） ，艾伦·图林（Alan Turing），斯蒂芬·克莱恩（ Stephen Kleene ），威拉德·奎因（ Willard Quine） ，保罗·贝纳卡拉夫（ Paul Benacerraf） ，希拉里·普特南（ Hilary Putnam） ，格雷戈里·凯廷（ Gregory Chaitin ），阿尔弗雷德·塔斯基（Alfred Chaitin），阿尔弗雷德·塔斯基（ Alfred Tarski） ，保罗·科·科恩（ Paul Cohen Cohen）和库尔特·戈德尔
如今，金属模含量和化学广泛重叠，并且在学术界的数学逻辑中都基本上累积了两者。
里程碑
双曲几何形状的发现
双曲几何形状的发现对变质学有重要的哲学后果。在发现之前，只有一个几何和数学。存在另一种几何形状的想法被认为是不可能的。
当高斯发现双曲线的几何形状时，据说他没有出于担心“ Boeotians的骚动”而发表任何内容，这会破坏他作为王子数学的地位（拉丁语，“数学家王子”）。 “ Boeotians的轩然大波”来了，并推动了变质，分析性哲学和逻辑的大量进步。
Begriffsschrift
begriffsschrift （大致，“概念 - 标题”）是一本关于Gottlob Frege的逻辑书籍，于1879年出版，并在该书中列出了正式系统。
Begriffsschrift通常被翻译为概念写作或概念符号；本书的完整标题将其标识为“一种公式语言，以算术为基础，纯粹的思想”。弗雷格（Frege）开发出正式逻辑方法的动机类似于莱布尼兹（Leibniz）对他的微积分抗激素的动机（尽管如此，在他的前言弗雷格（Foreword Frege）中，显然否认他达到了这一目标，而且他的主要目标将建立像莱布尼兹（Leibniz）的理想语言，什么，什么弗雷格（Frege）宣布是非常艰苦和理想主义的，但是，这并不是不可能的任务）。弗雷格（Frege）在接下来的四分之一世纪进行的数学基础的研究中继续利用他的逻辑演算。
Mathematica
Mathematica（通常是缩写）是一种尝试以象征性逻辑来描述一组公理和推理规则的“ PM”，原则上可以证明所有数学真理。因此，这个雄心勃勃的项目在数学和哲学史上至关重要，这是可以实现这种承诺的最重要的产物之一。但是，在1931年，戈德尔的不完整定理证明了PM，实际上其他任何尝试都无法实现这一目标。也就是说，对于提议封装数学的任何公理和推理规则，实际上将有一些数学的真理，这些真相无法从中推断出来。
PM的主要灵感和动机之一是Gottlob Frege在Logic方面的早期工作，Russell发现这允许建造自相矛盾的集合。 PM试图通过排除不受限制的任意集合来避免这个问题。这是通过用不同“类型”集的层次结构的概念代替一般集的概念来实现的，一组一组某种类型仅允许包含一组严格的较低类型。然而，当代数学以不太笨拙的方式避免了诸如罗素之类的悖论，例如Zermelo -Fraenkel Set理论的系统。
戈德尔的不完整定理
Gödel的不完整定理是数学逻辑的两个定理，它们具有除了能够执行算术的最琐碎的公理系统以外的所有固有局限性。库尔特·戈德尔（KurtGödel）于1931年证明的定理在数学逻辑和数学哲学中都很重要。这两个结果是广泛的，但不是普遍的解释，表明希尔伯特的计划为所有数学寻找完整而一致的公理集是不可能的，这对希尔伯特的第二个问题给出了负面答案。
第一个不完整定理指出，没有一个一致的公理系统，其定理可以通过“有效程序”列出（例如，计算机程序，但可以是任何形式的算法）能够证明有关自然关系的所有真理数字（算术）。对于任何此类系统，总会有关于真实数字的陈述，但在系统中是无法证实的。第二个不完整定理是第一个的扩展，表明这种系统无法证明其自身的一致性。
塔斯基对模型理论满意度的定义
T-Schema或Truth模式（不要与“惯例”混淆）用于给出真理的归纳定义，这是Alfred Tarski的真理语义理论的任何实现的核心。一些作者将其称为“等效架构”，这是Michael Dummett引入的同义词。
T-Schema通常以自然语言表示，但可以以多种谓词逻辑或模态逻辑形式化。这样的形式化称为T理论。 T理论构成了哲学逻辑中许多基本工作的基础，在分析哲学的几个重要争议中它们都应用了。
如半自然语言所示（其中's是缩写为s的句子的名称）：'s'是正确的，仅当s
示例：只有当雪为白色时，“雪为白色”是正确的。
ientscheidungsproblem的不确定性
Entscheidungsproblem （用于“决策问题”的德语）是David Hilbert在1928年提出的挑战。Entscheidungsproblem要求采用一种算法，该算法将其作为一阶逻辑的输入（可能是超过常规Axioms的有限轴）的陈述一阶逻辑）并根据该陈述是否普遍有效，即在满足公理的每个结构中有效，并回答“是”或“否”。根据一阶逻辑的完整定理，且仅当可以从公理中推导出来时，语句是普遍有效的，因此ientscheidungsproblem也可以看作是要求算法来决定是否可以从axioms中证明给定语句使用逻辑规则。
1936年， Alonzo Church and Alan Turing发表了独立论文，表明对Entscheidungsproblem的一般解决方案是不可能的，假设“可有效计算”的直观符号是由图灵机（或等效地在那些在同等上表达的功能）捕获的，则可以捕获。 Lambda演算）。现在，这个假设被称为教会论文。