数学模型
数学模型是使用数学概念和语言对混凝土系统的抽象描述。开发数学模型的过程称为数学建模。数学模型用于应用数学和自然科学(例如物理学,生物学,地球科学,化学)和工程学科(例如计算机科学,电气工程),以及非物理系统,例如社会科学(例如经济学,心理学,社会学,政治学)。它也可以本身作为主题教授。
使用数学模型来解决业务或军事行动中的问题是运营研究领域的很大一部分。
数学模型也用于音乐,语言学和哲学(例如,在分析哲学中进行了强度)。模型可能有助于解释系统并研究不同组件的影响,并对行为做出预测。
数学模型的要素
数学模型可以采用多种形式,包括动态系统,统计模型,微分方程或游戏理论模型。这些模型和其他类型的模型可能与涉及各种抽象结构的给定模型重叠。通常,数学模型可能包括逻辑模型。在许多情况下,科学领域的质量取决于理论方面的数学模型与可重复实验的结果一致。随着发展更好的理论,理论数学模型和实验测量之间缺乏一致性,通常会导致重要进步。
在物理科学中,传统的数学模型包含以下大多数元素:
分类
数学模型的类型不同:
- 线性与非线性:如果数学模型中的所有运算符表现出线性,则将所得的数学模型定义为线性。否则将模型视为非线性。线性和非线性的定义取决于上下文,线性模型可能具有非线性表达式。例如,在统计线性模型中,假定关系在参数中是线性的,但是在预测变量中可能是非线性的。同样,如果可以用线性差分运算符编写一个微分方程,则说它是线性的,但是它仍然可以在其中具有非线性表达式。在数学编程模型中,如果目标函数和约束完全由线性方程表示,则该模型被视为线性模型。如果用非线性方程表示一个或多个目标函数或约束,则该模型被称为非线性模型。
线性结构意味着可以将问题分解为可以独立处理和/或以不同规模进行分析的更简单的部分,并且在重新组建和重新定制时获得的结果对于初始问题仍然有效。
非线性,即使在相当简单的系统中,通常与混乱和不可逆性等现像有关。尽管有例外,但非线性系统和模型往往比线性更难学习。非线性问题的一种常见方法是线性化,但是如果一个人试图研究不可逆性,这些方面与非线性密切相关,这可能是有问题的。 - 静态与动态:动态模型解释了系统状态的时间相关变化,而静态(或稳态)模型以平衡计算系统,因此是时间不变的。动态模型通常由微分方程或差方程表示。
- 显式与隐式:如果已知总体模型的所有输入参数,并且可以通过有限的一系列计算来计算输出参数,则该模型被认为是显式的。但是有时是已知的输出参数,并且必须通过迭代过程(例如牛顿的方法或Broyden的方法)来解决相应的输入。在这种情况下,该模型被认为是隐式的。例如,可以在特定的飞行条件和电源设置下设计热力学周期(空气和燃油流量,压力和温度),可以明确计算喷气发动机的物理特性,例如涡轮机和喷嘴喉咙区域在其他飞行条件下的操作周期和电源设置无法从恒定的物理特性中明确计算。
- 离散与连续:离散模型将对象视为离散的对象,例如分子模型中的粒子或统计模型中的状态;连续模型以连续的方式表示对象,例如管流中流体的速度场,固体中的温度和应力以及由于点电荷而在整个模型上连续应用的电场。
- 确定性与概率(随机性):确定性模型是一个模型,其中每组变量状态都由模型中的参数和这些变量的先前状态的一组唯一确定;因此,确定性模型始终在给定的一组初始条件下执行相同的方式。相反,在随机模型(通常称为“统计模型”)中,存在符号,并且可变状态不是由唯一值来描述,而是通过概率分布来描述。
- 演绎,感应或浮动:演绎模型是基于理论的逻辑结构。归纳模型来自经验发现和概括。浮动模型既不基于理论也不是观察,而只是预期结构的调用。数学在经济学以外的社会科学中的应用已被毫无根据的模型受到批评。灾难理论在科学中的应用已被描述为浮动模型。
- 游戏理论中使用的战略与非战略模型在某种意义上是不同的,因为它们具有不兼容的激励措施,例如竞争性物种或拍卖中的竞标者。战略模型假设玩家是自主决策者,他们合理地选择最大化其目标功能的动作。使用战略模型的关键挑战是定义和计算解决方案概念,例如NASH平衡。战略模型的一个有趣的属性是,他们将有关游戏规则的推理与对玩家行为的推理分开。
建造
在业务和工程中,数学模型可用于最大化某个输出。所考虑的系统将需要某些输入。将输入与输出相关的系统也取决于其他变量:决策变量,状态变量,外源变量和随机变量。
决策变量有时称为自变量。外源变量有时称为参数或常数。由于状态变量取决于决策,输入,随机和外源变量,因此变量并非彼此独立。此外,输出变量取决于系统的状态(由状态变量表示)。
系统及其用户的目标和约束可以表示为输出变量或状态变量的功能。目标函数将取决于模型用户的观点。根据上下文,目标函数也被称为绩效索引,因为它是用户感兴趣的一定程度。尽管目标函数的数量和约束可能没有限制,但随着数量的增加,使用或优化模型会更加涉及(计算上)。
例如,使用输入输出模型时,经济学家通常会采用线性代数。具有许多变量的复杂数学模型可以通过使用一个符号代表几个变量的向量来巩固。
先验信息

根据系统上的先验信息,数学建模问题通常被分类为黑匣子或白框模型。黑框模型是一个没有可用的先验信息的系统。白色框型号(也称为玻璃盒或清除盒)是一个可用的所有必要信息的系统。实际上,所有系统都位于黑框和白色框模型之间,因此该概念仅作为决定采用哪种方法的直观指南。
通常,最好使用尽可能多的先验信息来使模型更准确。因此,通常认为白框模型更容易,因为如果您正确使用了信息,则该模型将正确地行为。通常,先验信息以了解与不同变量相关的函数类型的形式出现。例如,如果我们制作了医学在人类系统中的工作方式的模型,我们知道血液中的药物量通常是指数衰减的功能。但是我们仍然有几个未知参数。药物量衰减的速度如何,血液中的初始药物量是多少?因此,此示例不是完全白色的框模型。这些参数必须通过某种方式估算,然后才能使用模型。
在黑框模型中,人们试图估计变量和这些函数中数值参数之间关系的功能形式。例如,使用先验信息,我们可以使用一组可能可以充分描述系统的功能。如果没有先验信息,我们将尝试使用尽可能一般的功能来涵盖所有不同的模型。黑盒模型经常使用的方法是神经网络,通常不会对传入数据做出假设。或者,作为非线性系统识别的一部分开发的NARMAX(具有外源输入的非线性自回旋移动平均模型)可以使用相关性和非线性和非线性存在的未知参数来选择模型术语,确定模型结构并估算未知参数。噪音。与神经网络相比,NARMAX模型的优势在于,Narmax产生的模型可以写下并与基础过程相关,而神经网络产生了不透明的近似值。
主观信息
有时将主观信息纳入数学模型很有用。这可以基于直觉,经验或专家意见或基于数学形式的便利性来完成。贝叶斯统计提供了一个理论框架,将这种主观性纳入严格的分析中:我们指定了先前的概率分布(可以是主观的),然后根据经验数据更新此分布。
一个何时需要这种方法的例子是,实验者稍微弯曲硬币并将其扔一次,记录它是否出现头部,然后赋予预测下一个翻转擡头的概率的任务。弯曲硬币后,硬币会出现头部的真正可能性是未知的。因此,实验者将需要对先前使用的分布做出决定(也许是通过查看硬币的形状)。合并此类主观信息对于获得概率的准确估计可能很重要。
复杂
通常,模型复杂性涉及模型的简单性和准确性之间的权衡。 Occam的剃须刀是一个与建模特别相关的原则,其必不可少的想法是,在大致相等的预测能力的模型中,最简单的一个是最可取的。尽管增加的复杂性通常可以改善模型的现实主义,但它可能使模型难以理解和分析,并且还可能构成计算问题,包括数值不稳定性。托马斯·库恩(Thomas Kuhn)认为,随着科学的发展,在范式转变提供根本简化之前的解释往往变得更加复杂。
例如,在对飞机的飞行进行建模时,我们可以将飞机的每个机械部分嵌入我们的模型中,从而获得系统的几乎白色盒子。但是,添加如此大量细节的计算成本将有效地抑制这种模型的使用。此外,由于系统过于复杂,不确定性将增加,因为每个单独的部分都会导致模型中的一定差异。因此,通常进行一些近似值以将模型降低到明智的大小是合适的。工程师通常可以接受一些近似值,以获得更健壮和简单的模型。例如,牛顿的古典力学是现实世界的近似模型。尽管如此,牛顿的模型对于大多数普通生活的情况就足够了,也就是说,只要粒子速度远低于光速,我们仅研究宏观粒子即可。
请注意,更好的准确性并不一定意味着更好的模型。统计模型容易过度拟合,这意味着模型过多地适合数据,并且失去了将其推广到以前未观察到的新事件的能力。
培训,调整和配件
任何不是纯白色框的模型都包含一些可用于将模型拟合到旨在描述的系统的参数。如果建模是通过人工神经网络或其他机器学习进行的,则将参数的优化称为训练,而模型超参数的优化称为调整,通常使用交叉验证。在通过明确给定的数学函数的更常规的建模中,参数通常由曲线拟合确定。
评估和评估
建模过程的关键部分是评估给定数学模型是否准确描述系统。这个问题可能很难回答,因为它涉及几种不同类型的评估。
经验数据的预测
通常,模型评估中最简单的部分是检查模型是否预测了模型开发中未使用的实验测量或其他经验数据。在具有参数的模型中,一种常见的方法是将数据拆分为两个不相交的子集:培训数据和验证数据。培训数据用于估计模型参数。即使这些数据没有用于设置模型的参数,即使这些数据未使用这些数据,精确的模型也将密切匹配。这种做法被称为统计中的交叉验证。
定义一个指标来测量观察到的数据和预测数据之间的距离是评估模型拟合的有用工具。在统计,决策理论和一些经济模型中,损失功能也起着相似的作用。
尽管测试参数的适当性是相当简单的,但是测试模型的一般数学形式的有效性可能更困难。通常,与涉及微分方程的模型相比,已经开发了更多的数学工具来测试统计模型的拟合。来自非参数统计数据的工具有时可以用来评估数据拟合已知分布的程度或提出的一般模型,该模型仅对模型的数学形式提供最小的假设。
模型范围
评估模型的范围,即确定模型适用的情况可能不那么直接。如果模型是根据一组数据构建的,则必须确定已知数据是“典型”数据集的系统或情况。
该模型是否很好地描述了数据点之间系统的属性的问题称为插值,并且在观察到的数据之外的事件或数据点相同的问题称为外推。
作为模型范围典型限制的一个例子,在评估牛顿古典力学时,我们可以注意到,牛顿在没有高级设备的情况下进行了测量,因此他无法测量以接近光速的速度行驶的颗粒的特性。同样,他不测量分子和其他小颗粒的运动,而是仅仅是宏粒子。毫不奇怪,他的模型不能很好地推断出这些领域,即使他的模型足以容纳普通的生命物理学。
哲学考虑
许多类型的建模隐含地涉及有关因果关系的主张。这通常是(但并非总是)涉及微分方程的模型。由于建模的目的是提高我们对世界的理解,因此模型的有效性不仅取决于其与经验观察的合适性,而且还取决于其推断到最初描述的情况以外的情况或数据的能力。人们可以将其视为定性和定量预测之间的区别。人们还可以说,除非它提供了一些洞察力,否则该模型是毫无价值的,这些见解超出了对所研究现象的直接调查已知的内容。
这样的批评的一个例子是,最佳觅食理论的数学模型并没有提供超越进化的常识结论和生态学的其他基本原理的见解。
还应注意的是,虽然数学建模使用数学概念和语言,但它本身并不是数学的分支,不一定符合任何数学逻辑,而是某些科学或其他技术主题的分支,具有相应的概念和相应的概念和论证标准。
自然科学的重要性
数学模型在自然科学中非常重要,尤其是物理学。物理理论几乎总是使用数学模型表达。
在整个历史上,已经开发了越来越准确的数学模型。牛顿的定律准确地描述了许多日常现象,但是在某些限制下,必须使用相对论和量子力学的理论。
在物理学中使用理想化的模型来简化事物是常见的。无质量的绳索,点颗粒,理想气体和盒子中的粒子是物理中使用的许多简化模型之一。物理定律用简单的方程式表示,例如牛顿定律,麦克斯韦方程和schrödinger方程。这些定律是制定实际情况数学模型的基础。许多真实情况非常复杂,因此在计算机上进行了大致建模,该模型在计算上可行的模型是根据基本定律或基本定律制成的近似模型制成的。例如,分子可以通过分子轨道模型对schrödinger方程的近似溶液进行建模。在工程学中,物理模型通常是通过数学方法(例如有限元分析)制成的。
不同的数学模型使用不同的几何形状,这些几何形状不一定是对宇宙几何形状的准确描述。欧几里得的几何形状在古典物理学中备受使用,而特殊的相对论和一般相对论是使用不是欧几里得的几何形状的理论的例子。
一些应用程序
通常,当工程师分析要控制或优化的系统时,他们会使用数学模型。在分析中,工程师可以构建系统的描述模型,以作为系统如何工作的假设,或试图估计不可预见的事件如何影响系统。同样,在控制系统时,工程师可以在模拟中尝试不同的控制方法。
数学模型通常通过一组变量和一组方程来描述系统,以在变量之间建立关系。变量可能是多种类型的;例如,真实或整数数字,布尔值或字符串。变量代表系统的某些属性,例如,经常以信号,计时数据,计数器和事件出现的形式进行测量的系统输出。实际模型是描述不同变量之间关系的一组函数。
例子
- 计算机科学中流行的示例之一是各种机器的数学模型,一个示例是确定性有限自动机(DFA),它被定义为抽象的数学概念,但是由于DFA的确定性性质,它在硬件中是可以实现的。和解决各种特定问题的软件。例如,以下是带有二进制字母的DFA M,它要求输入包含偶数0s:

- 在哪里
- 和
- 由以下状态转变表定义:
- 在哪里
- 01
S 1 S 2
- 该状态表示到目前为止输入中有均匀的0,而表示奇数。输入中的1不会改变自动机的状态。当输入结束时,状态将显示输入是否包含偶数0s。如果输入确实包含偶数为0,则将在状态下完成接受状态,因此将接受输入字符串。
- 识别的语言是正则表达式1*(0(1*)0(1*))*的常规语言,其中“*”是kleene star,例如,1*表示任何非负号(可能是符号“ 1”的零)。
- 在没有思考的情况下进行的许多日常活动都是数学模型的用途。地球区域对小平面表面的地理图投影是一种模型,可用于许多目的,例如计划旅行。
- 另一个简单的活动是使用距离行进的方程式是时间和速度的乘积,可以从其初始位置,方向和行进速度来预测车辆的位置。当更正式使用时,这被称为死亡。以这种方式进行数学建模不一定需要形式数学。已经证明动物使用死亡估算。
- 人口增长。人口增长的一个简单(虽然近似)模型是马尔萨斯的增长模型。逻辑功能及其扩展是一个更现实的人口增长模型。
- 电势场中粒子的模型。在此模型中,我们将粒子视为质量点,它描述了空间中的轨迹,该轨迹由使其在空间中的函数作为时间的函数进行建模。电势场由函数和轨迹给出,即函数是微分方程的解决方案:也可以写为
- 请注意,该模型假设粒子是一个点质量,在我们使用此模型的许多情况下,它肯定是错误的。例如,作为行星运动的模型。
- 消费者的理性行为模型。在此模型中,我们假设一个消费者面临着标记为每种商品的商品选择的选择,假定消费者俱有序数效用功能(在某种意义上,只有两个公用事业之间差异的迹象,而不是每个公用事业之间的差异的标志公用事业是有意义的),具体取决于所消耗的商品数量。该模型进一步假设消费者的预算用于购买向量的预算,以最大化该模型中理性行为问题,然后成为数学优化问题,也就是说:约束:该模型已在各种经济环境中使用,例如在一般平衡理论中以显示经济平衡的存在和帕累托效率。
- 邻居感应模型是一个模型,该模型解释了最初混乱的真菌网络的蘑菇形成。
- 在计算机科学中,数学模型可用于模拟计算机网络。
- 在力学中,数学模型可用于分析火箭模型的运动。