Martingale定价

Martingale定价是基于定价方法鞅和风险中立。Martingale定价方法是现代定量金融的基石，可以应用于各种衍生物合同，例如选项，期货，利率衍生工具，信用衍生品， ETC。

与PDE定价的方法，Martingale定价公式是一种期望的形式蒙特卡洛方法。因此，在评估高维合同（例如一篮子选择）时，首选Martingale定价。另一方面，估价美国式合同很麻烦，需要离散问题（使其像百慕大选项），直到2001年F. A. Longstaff和E. S. Schwartz开发了一种实用的蒙特卡洛方法，用于定价美国选择。^[1]

测量理论表示

假设市场状态可以由过滤概率空间，${\ displayStyle（\ Omega，（{{\ Mathcal {f}} _ {t}）_ {t \ in [0，t]}，{\ tilde {\ tilde {\ mathbb {p}}}}}）}}$。让${\ displaystyle \ {s（t）\} _ {t \ in [0，t]}}}$在此空间上成为随机价格过程。一个人可能会定价衍生安全性，${\ displayStyle v（t，s（t））}$在没有套利的哲学下

${\ displayStyle d（t）v（t，s（t））= {\ tilde {\ mathbb {e}}}}}}}} [d（t）v（t，s（s（t））| {\ mathcal {f}}}_ {t}]，\ qquad dd（t）= - r（t）d（t）\ dt}$

在哪里${\ displaystyle {\ tilde {\ mathbb {p}}}}}}}$是个风险中立措施.

${\ displayStyle（r（t））_ {t \ in [0，t]}}}$是一个${\ displayStyle {\ Mathcal {f}} _ {t}}}$ - 可计算（无风险，可能是随机）利率过程。

这是通过几乎可以确定复制衍生物的时间${\ displayStyle t}$仅使用基本证券和无风险货币市场（MMA）的回报。这些基础具有可观察和已知的价格。具体而言，一个人构建了投资组合过程${\ displaystyle \ {x（t）\} _ {t \ in [0，t]}}}$在连续的时候，他持有${\ displaystyle \ delta（t）}$每次的基础股票${\ displayStyle t}$， 和${\ displayStyle x（t） - \ delta（t）s（t）}$赚取无风险利率的现金${\ displayStyle r（t）}$。投资组合遵守随机微分方程

${\ displaystyle dx（t）= \ delta（t）\ ds（t）+r（t）（x（t） - \ delta（t）S（t）S（t））\ dt}$

然后将尝试申请吉尔萨诺夫定理通过第一计算${\ displaystyle {\ frac {d {\ tilde {\ mathbb {p}}}}}}}} {d \ mathbb {p}}}}}}$;那就是ra -nikodym衍生物关于观察到的市场概率分布。这样可以确保折现的复制投资组合流程是在风险中立条件下的martingale。

如果这样的过程${\ displaystyle \ delta（t）}$可以很好地定义和构造，然后选择${\ displayStyle v（0，s（0））= x（0）}$会导致${\ displaystyle {\ tilde {\ mathbb {p}}}}} [x（t）= v（t）] = 1}$，这立即暗示发生这种情况${\ displaystyle \ mathbb {p}}}$-几乎肯定同样，由于这两个度量是等效的。

也可以看看

• 布朗金融市场模式
• 马丁加尔（概率理论）

参考