有限的差异

有限的差异是 $F （ x + b ） - f （ x + a ）$ 形式的数学表达。如果有限的差异除以 $b - a$ ，则会获得差异商。通过有限差的衍生物近似在有限差异方法中起着核心作用，用于微分方程的数值解，尤其是边界价值问题。

通常表示的差异操作员是将函数f映射到函数定义的函数的操作员

\Delta [f](x)=f(x+1)-f(x).

差方程是一个函数方程，涉及有限差异操作员的方式与微分方程涉及衍生物。差方程和微分方程之间有许多相似之处，特别是在解决方法中。某些复发关系可以通过用有限的差异代替迭代符号来写入差异方程。

在数值分析中，有限差异被广泛用于近似衍生物，而术语“有限差异”通常用作“衍生物的有限差异近似”的缩写。有限差近似值是上述术语中的有限差异商。

布鲁克·泰勒（Brook Taylor）在1715年引入了有限差异，并在乔治·布尔（ George Boole ，1860年）， LM Milne-Thomson （1933）和KárolyJordan（1939）中研究了作品中的抽象自我数学对象。有限的差异将其起源追溯到JostBürgi的算法之一（约1592年），并由包括艾萨克·牛顿（Isaac Newton）在内的其他人工作。有限差异的形式演算可以看作是无限量计算的替代方法。

基本类型

通常考虑三种基本类型：前进，向后和中心有限差异。

函数f表示的向前差是定义为

\Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x).

根据应用的不同，间距 $H$ 可能是可变或恒定的。当省略时， $H$ 被视为1；那是，

\Delta [f](x)=\Delta _{1}[f](x)=f(x+1)-f(x).

向后差使用 $x$ 和 $x -h$ 处的函数值，而不是 $x + h$ 和 $x$ 的值。

\nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(x-h)=\Delta _{h}[f](x-h).

最后，中心差异由

\delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {h}{2}})-f(x-{\tfrac {h}{2}})=\Delta _{h/2}[f](x)+\nabla _{h/2}[f](x).

与衍生物的关系

有限的差异通常用作衍生物的近似值，通常在数值分化中。

一个点 $x$ 的函数 $f$ 的导数由极限定义。

f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.

如果 $H$ 具有固定的（非零）值而不是接近零，则将编写上述方程的右侧

{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}.

因此，当 $h$ 较小时，向前差除以 $H$ 近似于衍生物。此近似中的误差可以从泰勒的定理得出。假设 $F$ 是两倍可微分的，我们有

{\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o(h)\to 0\quad {\text{as }}h\to 0.

相同的公式适合向后差：

{\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o(h)\to 0\quad {\text{as }}h\to 0.

但是，中央（也称为中心）差异得出更准确的近似值。如果 $F$ 是三倍的，则

{\frac {\delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o\left(h^{2}\right).

但是，中心差异方法的主要问题是振荡函数可以产生零导数。如果 $n$ 奇数为 $f （ nh ）= 1$ ，而n为 $n$ 的 $f （ nh ）= 2$ ，则使用中央差方案计算出 $f'（ nh ）= 0$ 。如果 $F$ 的域是离散的，这尤其麻烦。另请参见对称衍生物。

有限差异的作者意味着有限差异近似定义向前/向后/中心差异本节中给出的商（而不是采用上一节中给出的定义）。

高阶差异

以类似的方式，可以获得对高阶导数和差分运算符的有限差近似值。例如，通过使用上述中心差公式进行f'（x +h/2）和f'（x -h/2），并在x处使用f'衍生物的中心差公式，我们获得了f：第二个衍生物的中心差近似：

二阶中央: $f''(x)\approx {\frac {\delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.$

同样，我们可以以递归方式应用其他差异公式。

二阶向前: $f''(x)\approx {\frac {\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+2h)-f(x+h)}{h}}-{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}}.$

二阶向后: $f''(x)\approx {\frac {\nabla _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}-{\frac {f(x-h)-f(x-2h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x)-2f(x-h)+f(x-2h)}{h^{2}}}.$

更一般地， $n$ 阶向前，向后和中心差异分别由

向前: $\Delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{n-i}{\binom {n}{i}}f{\bigl (}x+ih{\bigr )},$

落后: $\nabla _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x-ih),$

中央: $\delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-i\right)h\right).$

这些方程式在求和符号后使用的二项式系数为（n
我）。帕斯卡尔三角形的每一行都为i的每个值提供了系数。

请注意，对于奇数 $n$ ，中心差异将被非智能者 $乘$ 。这通常是一个问题，因为它等于更改离散化的间隔。可以解决该问题的平均值 $[F]（ X -H / 2 ）$ 和 $δN [F]（ X + H / 2 ）$ 的平均值。

应用于序列的正向差异有时称为序列的二项式变换，并且具有许多有趣的组合特性。可以使用Nörlund -Rice积分来评估正向差异。这些类型的系列的积分表示很有趣，因为通常可以使用渐近扩展或鞍点技术来评估积分。相比之下，正向差异序列很难进行数值评估，因为二项式系数在大 $n$ 中迅速生长。

这些高阶差异与各自的衍生物的关系很简单，

{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x)={\frac {\Delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+o(h)={\frac {\nabla _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+o(h)={\frac {\delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+o\left(h^{2}\right).

高阶差异也可以用于构建更好的近似值。如上所述，一阶差异近似于 $h的$ 术语术语的一阶导数。但是，组合

{\frac {\Delta _{h}[f](x)-{\frac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h}}=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}}

近似 $f'（ x ）$ 到 $h 2$ 的顺序术语。这可以通过在泰勒系列中扩展上述表达来证明这一点，或者通过使用有限差异的计算。

如有必要，可以通过将前进，向后和中心差异混合来将有限的差异集中在任何点上。

多项式

对于在函数 $p（x）$ 中表达的给定多项式的 $n\geq1$ 的多项式，实数 $A \neq0$ 和 $b$ ，下阶项（如果有）标记为 $lot$ ：

$P(x)=ax^{n}+bx^{n-1}+l.o.t.$

$n$ 成对差异后，可以实现以下结果，其中 $h \neq0$ 是标记算术差异的实数：

$\Delta _{h}^{n}[P](x)=ah^{n}n!$

仅保留最高阶段的系数。由于此结果相对于 $X$ 是恒定的，因此任何其他成对差异都将具有值 $0$ 。

归纳证明

基本情况

令 $Q（x）$ 为 $1$ 度的多项式：

\Delta _{h}[Q](x)=Q(x+h)-Q(x)=[a(x+h)+b]-[ax+b]=ah=ah^{1}1!

这证明了基本情况。

感应步骤

令 $r （ x ）$ 为度 $m -1$ 的多项式，其中 $m\geq2$ ，最高级项的系数为 $a \neq0$ 。假设所有程度 $m -1$ 的多项式符合以下内容：

$\Delta _{h}^{m-1}[R](x)=ah^{m-1}(m-1)!$

令 $S （ x ）$ 为度 $m$ 的多项式。有一个成对差异：

\Delta _{h}[S](x)=[a(x+h)^{m}+b(x+h)^{m-1}+{\text{l.o.t.}}]-[ax^{m}+bx^{m-1}+{\text{l.o.t.}}]=ahmx^{m-1}+{\text{l.o.t.}}=T(x)

作为 $ahm \neq0$ ，这会导致 $m -1$ 度的多项式 $t （ x ）$ ，而 $ahm$ 作为最高级项的系数。鉴于上述假设和 $M -1$ 成对差异（导致 $S （ x ）$ 的 $M$ 成对差异），可以发现：

\Delta _{h}^{m-1}[T](x)=ahm\cdot h^{m-1}(m-1)!=ah^{m}m!

这完成了证明。

应用

该身份可用于找到最低的多项式，该多项式拦截了许多点 $（ x ， y ）$ ，其中x轴上从一个点到下一个点的差异是常数 $h \neq0$ 。例如，给定以下几点：

x	y
1	4
4	109
7	772
10	2641
13	6364

我们可以使用一个差异表，其中所有单元在第一个 $y$ 的右侧，以下与列中的细胞的以下关系均与左侧的细胞有关 $（ a + 1， b + 1）$ ，顶部为顶部。最左键在坐标处 $（0，0）$ ：

(a+1,b+1)=(a,b+1)-(a,b)

要查找第一项，可以使用下表：

$x$	$y$	$δy$	$δ2y_$	$δ3y_$
1	4
4	109	105
7	772	663	558
10	2641	1869	1206	648
13	6364	3723	1854	648

这是一个常数 $648$ 。如上所述，算术差为 $H = 3$ 。考虑到达到常数所需的成对差异的数量，可以推测这是第 $3$ 级的多项式。因此，使用以上身份：

648=a\cdot 3^{3}\cdot 3!=a\cdot 27\cdot 6=a\cdot 162

解决 $a$ ，可以发现它具有值 $4$ 。因此，多项式的第一项为 $4 x 3$ 。

然后，减去第一项，降低了多项式的程度，并再次找到有限的差异：

$x$	$y$	$δy$	$δ2y_$
1	$4 - 4(1) 3 = 4 - 4 = 0$
4	$109 - 4(4) 3 = 109 - 256 = -147$	−147
7	$772 - 4(7) 3 = 772 - 1372 = -600$	−453	−306
10	$2641 - 4(10) 3 = 2641 - 4000 = -1359$	−759	−306
13	$6364 - 4(13) 3 = 6364 - 8788 = -2424$	−1065	−306

在这里，仅在两个成对差异之后实现了常数，因此以下结果：

-306=a\cdot 3^{2}\cdot 2!=a\cdot 18

为 $-17$ 的 $A$ 求解，多项式的第二项为 $-17 x 2$ 。

通过减去第二学期，进入下一个学期：

$x$	$y$	$δy$
1	$0 - (-17(1) 2) = 0 + 17 = 17$
4	$-147 - (-17(4) 2) = -147 + 272 = 125$	108
7	$-600 - (-17(7) 2) = -600 + 833 = 233$	108
10	$-1359 - (-17(10) 2) = -1359 + 1700 = 341$	108
13	$-2424 - (-17(13) 2) = -2424 + 2873 = 449$	108

因此，只有一个成对差异就可以实现常数：

108=a\cdot 3^{1}\cdot 1!=a\cdot 3

可以发现 $A = 36$ ，因此多项式的第三项为 $36倍$ 。减去第三任期：

$x$	$y$
1	$17 - 36(1) = 17 - 36 = -19$
4	$125 - 36(4) = 125 - 144 = -19$
7	$233 - 36(7) = 233 - 252 = -19$
10	$341 - 36(10) = 341 - 360 = -19$
13	$449 - 36(13) = 449 - 468 = -19$

没有任何成对差异，发现多项式的第四项和最后项是常数 $-19$ 。因此，发现第一表中所有点的最低多项式拦截：

4x^{3}-17x^{2}+36x-19

任意尺寸的内核

使用线性代数可以构建有限差近似值，该近似值使用任意数量的左侧点，以及（可能不同）评估点右侧的（可能不同的）点的点，对于任何顺序导数。这涉及求解线性系统，以使评估点周围这些点的总和的泰勒膨胀最佳接近所需衍生物的泰勒膨胀。这样的公式可以在六角形或钻石形网格上以图形方式表示。这对于区分网格上的函数很有用，当一个人接近网格的边缘时，必须在一侧采样越来越少的点。可以构建非标准（甚至是非刻板）模板的有限差近似值，并且可以构建所需的衍生序列。

特性

对于所有正 $k$ 和 $n$ $\Delta _{kh}^{n}(f,x)=\sum \limits _{i_{1}=0}^{k-1}\sum \limits _{i_{2}=0}^{k-1}\cdots \sum \limits _{i_{n}=0}^{k-1}\Delta _{h}^{n}\left(f,x+i_{1}h+i_{2}h+\cdots +i_{n}h\right).$
莱布尼兹规则： $\Delta _{h}^{n}(fg,x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\Delta _{h}^{k}(f,x)\Delta _{h}^{n-k}(g,x+kh).$

在微分方程中

有限差异的一个重要应用是在数值分析中，尤其是在数值微分方程中，该方程针对普通和部分微分方程的数值解。这个想法是将出现在微分方程中的衍生物替换为近似它们的有限差异。所得的方法称为有限差异方法。

有限差异方法的常见应用是在计算科学和工程学科中，例如热工程，流体力学等。

牛顿系列

牛顿系列由以艾萨克·牛顿（Isaac Newton）命名的牛顿前差方程式的术语组成；从本质上讲，这是Gregory -Newton插值公式（以Isaac Newton和James Gregory的名字命名），该公式于1687年首次发表在其Principia Mathematica中，即连续泰勒扩张的离散类似物，

$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}\,(x-a)_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {x-a}{k}}\,\Delta ^{k}[f](a),$

它适用于任何多项式函数F和许多（但不是全部）分析功能。（当f是指数类型时，它不会保持。这很容易看到，因为正弦函数在整数的倍数上消失；相应的牛顿系列均相同零，因为在这种情况下所有有限的差异为零。但是，很明显，正弦函数，正弦函数不是零。）在这里，表达式

{\binom {x}{k}}={\frac {(x)_{k}}{k!}}

是二项式系数，并且

(x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)

是“下降阶乘”或“较低阶乘”，而空产品 $（ x ） 0$ 定义为1。在这种特殊情况下，假设单位步骤是 $x ， h = 1$ 的变化的单位步骤以下概括。

请注意，此结果与泰勒定理的正式对应关系。从历史上看，这以及Chu -vandermonde的身份，

(x+y)_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x)_{n-k}\,(y)_{k},

（遵循它，并对应于二项式定理），包括在成熟到翁布拉尔骨化系统的观察结果中。

当应用于量子旋转（请参阅Holstein -Primakoff Transformation ）， Bosonic Operator功能或离散计数统计量之类的离散量时，牛顿系列扩展可以优于泰勒系列的扩展。

为了说明如何在实际实践中使用牛顿的公式，请考虑将斐波那契序列 $f = 2、2、4，...$ 一个人可以通过首先计算差异表，可以找到这些值的多项式，然后将与 $x 0$ （下划线）相对应的差异取代到公式中，如下所示，

{\begin{matrix}{\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline x&f=\Delta ^{0}&\Delta ^{1}&\Delta ^{2}\\\hline 1&{\underline {2}}&&\\&&{\underline {0}}&\\2&2&&{\underline {2}}\\&&2&\\3&4&&\\\hline \end{array}}&\quad {\begin{aligned}f(x)&=\Delta ^{0}\cdot 1+\Delta ^{1}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{1}}{1!}}+\Delta ^{2}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{2}}{2!}}\quad (x_{0}=1)\\\\&=2\cdot 1+0\cdot {\dfrac {x-1}{1}}+2\cdot {\dfrac {(x-1)(x-2)}{2}}\\\\&=2+(x-1)(x-2)\\\end{aligned}}\end{matrix}}

对于 $X$ 值不均匀步骤的情况，牛顿计算分开的差异，

\Delta _{j,0}=y_{j},\qquad \Delta _{j,k}={\frac {\Delta _{j+1,k-1}-\Delta _{j,k-1}}{x_{j+k}-x_{j}}}\quad \ni \quad \left\{k>0,\;j\leq \max \left(j\right)-k\right\},\qquad \Delta 0_{k}=\Delta _{0,k}

一系列产品，

{P_{0}}=1,\quad \quad P_{k+1}=P_{k}\cdot \left(\xi -x_{k}\right),

由此产生的多项式是标量产品，

f(\xi )=\Delta 0\cdot P\left(\xi \right)

.

在使用 $P$ -Adic数字的分析中， Mahler的定理指出，假设 $F$ 是多项式函数，可以一直削弱，以至于 $f$ 仅是连续的。

卡尔森的定理为牛顿系列提供了必要和足够的条件，如果存在。但是，通常不存在牛顿系列。

牛顿系列与斯特林系列和塞尔伯格系列一起，是一般差异系列的特殊情况，所有这些系列都是根据适当缩放的前向差异定义的。

以压缩和稍微更一般的形式和等距节点，公式读取

f(x)=\sum _{k=0}{\binom {\frac {x-a}{h}}{k}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{\binom {k}{j}}f(a+jh).

有限差分的计算

向前差可以将其视为算子，称为差异操作员，该操作员将函数 $f$ 映射到 $δH [f]$ 。该操作员等于

\Delta _{h}=T_{h}-I,

其中 $T H$ 是带步H的移位操作员，由 $T H [F]（ X ）= F （ X + H ）$ 定义，而 $I$ 是身份操作员。

较高阶的有限差可以以递归方式定义为Δn
HδH（Δn -1）
H）。另一个等效的定义是ΔN
_h = [ t _h -i ] ⁿ 。

差异操作员 $δH$ 是线性算子，因此它满足 $[αF + βG]（ x ）= αΔH [f] （ x ） + βδH [g]（ x ）$ 。

它还满足上述特殊的leibniz规则， $δh （ f （ x ） g （ x ））=（ δh f （ x ）） g （ x + h ） + f （ x ）（ δhg （ x ））$ 。相似的陈述也适用于向后和中心差异。

正式应用Taylor系列相对于 $H$ 产生公式

\Delta _{h}=hD+{\frac {1}{2!}}h^{2}D^{2}+{\frac {1}{3!}}h^{3}D^{3}+\cdots =\mathrm {e} ^{hD}-I,

其中 $d$ 表示连续衍生物算子，将 $f$ 映射到其衍生物 $f'$ 。当双方对分析函数作用时，对于足够小的 $h$ ，扩展是有效的。因此， $T H = E HD$ ，并正式反转指数产量

hD=\ln(1+\Delta _{h})=\Delta _{h}-{\tfrac {1}{2}}\,\Delta _{h}^{2}+{\tfrac {1}{3}}\,\Delta _{h}^{3}-\cdots .

该公式在某种意义上是，两个操作员在应用于多项式时都会给出相同的结果。

即使对于分析功能，右侧的系列也不能保证会收敛。这可能是一个渐近系列。但是，它可用于获得衍生物的更准确的近似值。例如，保留该系列的前两个术语会产生二阶近似，以截至截面差差的末端提到的 $f'（ x ）$ 。

向后和中央差异操作员的类似公式是

hD=-\ln(1-\nabla _{h})\quad {\text{and}}\quad hD=2\operatorname {arsinh} \left({\tfrac {1}{2}}\,\delta _{h}\right).

有限差异的计算与组合学的繖形计算有关。这种非常系统的对应关系是由于蒙布拉尔量的换向因素与其连续类似物（ $H \to0$ 限制）的身份，

$\left[{\frac {\Delta _{h}}{h}},x\,T_{h}^{-1}\right]=[D,x]=I.$

涉及功能F（x）的标准微积分的大量形式差异关系F（x）因此系统地映射到涉及f的umbral有限差分类似物（XT-1）
H）。

例如，单一 $X n$ 的遮罩类似物是上述掉落阶乘（ pochhammer k-symbol ）的概括，

~(x)_{n}\equiv \left(xT_{h}^{-1}\right)^{n}=x(x-h)(x-2h)\cdots {\bigl (}x-(n-1)h{\bigr )},

以便

{\frac {\Delta _{h}}{h}}(x)_{n}=n(x)_{n-1},

因此，上述牛顿插值公式（通过与此类符号中任意函数 $f （ x ）$ 的扩展中的系数匹配），等等。

例如，Umbral的正弦是

\sin \left(x\,T_{h}^{-1}\right)=x-{\frac {(x)_{3}}{3!}}+{\frac {(x)_{5}}{5!}}-{\frac {(x)_{7}}{7!}}+\cdots

与连续限制一样， $δh / h$ 的特征功能也恰好是指数，

{\frac {\Delta _{h}}{h}}(1+\lambda h)^{\frac {x}{h}}={\frac {\Delta _{h}}{h}}e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}}=\lambda e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}},

因此，连续函数的傅立叶总和很容易被忠实地映射到umbral傅立叶总和，即涉及相同的傅立叶系数乘以这些Umbral基础指数。因此，这种umbral指数等于Pochhammer符号的指数生成函数。

例如 _

\delta (x)\mapsto {\frac {\sin \left[{\frac {\pi }{2}}\left(1+{\frac {x}{h}}\right)\right]}{\pi (x+h)}},

等等。通常可以使用与解决微分方程的技术相似的技术来解决差异方程。

向前差异操作员的逆操作员，因此umbral积分是不确定的总和或反差异操作员。

有限差分运算符计算的规则

类似于找到衍生物的规则，我们有：

常数规则：如果 $C$ 是常数，则

\Delta c=0

线性：如果 $A$ 和 $B$ 是常数，

\Delta (a\ f+b\ g)=a\ \Delta f+b\ \Delta g

以上所有规则都适用于任何差异算子（包括 $δ$ 和 $\nabla）$ $的$ 任何差异操作员。

产品规则：

{\begin{aligned}\Delta (fg)&=f\,\Delta g+g\,\Delta f+\Delta f\,\Delta g\\[4pt]\nabla (fg)&=f\,\nabla g+g\,\nabla f-\nabla f\,\nabla g\end{aligned}}

商规则：

\nabla \left({\frac {f}{g}}\right)=\left.\left(\det {\begin{bmatrix}\nabla f&\nabla g\\f&g\end{bmatrix}}\right)\right/\left(g\cdot \det {\begin{bmatrix}g&\nabla g\\1&1\end{bmatrix}}\right)

或者

\nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\nabla f-f\,\nabla g}{g\cdot (g-\nabla g)}}

求和规则：

{\begin{aligned}\sum _{n=a}^{b}\Delta f(n)&=f(b+1)-f(a)\\\sum _{n=a}^{b}\nabla f(n)&=f(b)-f(a-1)\end{aligned}}

请参阅参考。

概括

普遍的有限差通常定义为 $\Delta _{h}^{\mu }[f](x)=\sum _{k=0}^{N}\mu _{k}f(x+kh),$ 其中 $μ =（ μ0 ，\dots ， μN ）$ 是其系数矢量。无限的差异是进一步的概括，上面的有限总和被无限系列所取代。概括的另一种方法是使系数 $μk$ 取决于 $x$ ： $μk = μk （ x ）$ ，从而考虑加权有限差。同样，步骤 $h$ 可能取决于点 $x$ ： $h = h （ x ）$ 。这种概括对于构建不同的连续性模量很有用。
广义差异可以看作是多项式环 $r [t h]$ 。它导致差异代数。
差异操作员在部分排序的集合上概括了Möbius倒置。
作为卷积操作员：通过进攻率代数的形式，差异算子和其他möbius倒置可以通过卷积为poset上的函数，称为möbius函数 $μ$ ；对于差异算子， $μ$ 是序列（1，-1、0、0、0、5，…）。

多元有限差异

有限差异可以在一个以上的变量中考虑。它们类似于几个变量中的部分衍生物。

一些部分衍生近似值是：

{\begin{aligned}f_{x}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-f(x-h,y)}{2h}}\\f_{y}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-f(x,y-k)}{2k}}\\f_{xx}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-2f(x,y)+f(x-h,y)}{h^{2}}}\\f_{yy}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-2f(x,y)+f(x,y-k)}{k^{2}}}\\f_{xy}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y-k)-f(x-h,y+k)+f(x-h,y-k)}{4hk}}.\end{aligned}}

另外，对于F的应用程序是 $F$ 是最昂贵的一步，并且必须计算第一和第二个衍生物，最后情况的公式是更有效的公式

f_{xy}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y)-f(x,y+k)+2f(x,y)-f(x-h,y)-f(x,y-k)+f(x-h,y-k)}{2hk}},

由于前四个方程式尚未需要计算的值是 $F （ x + H ， y + K ）$ 和 $F （ x -H ， y -k ）$ 。