衍生物

衍生物微积分的基本工具,可量化函数输出相对于其输入的变化的敏感性。单个变量在所选输入值中的函数的衍生物(存在)是该点函数图的切线线斜率。切线线是该函数在该输入值附近的最佳线性近似。因此,衍生物通常被描述为变化的瞬时速率,因变量与自变量变量的瞬时变化之比。找到衍生物的过程称为分化

有多种不同的差异表示法,最常用的两个是莱布尼兹的符号和主要符号。莱布尼兹(Leibniz)符号以戈特弗里德·威廉·莱布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz)的名字命名,表示为两个差异的比例,而素数表示法是通过添加素数写成的。高阶符号代表重复的分化,通常通过在差速器中添加上标表示leibniz符号表示它们,并通过添加其他质量标记在主要符号中表示。高阶衍生物可以应用于物理学;例如,尽管移动对像在时间方面的位置的第一个衍生物是对象的速度,但位置如何随时间的发展而变化,但第二个导数是对象的加速度,速度如何随着时间的推移而变化。

衍生物可以推广到几个实际变量的函数。在此概括中,衍生物被重新解释为线性变换,其图(在适当的翻译之后)最佳的原始函数图最佳线性近似。 Jacobian矩阵是代表这种线性转换相对于选择独立变量给出的基础的矩阵。可以根据独立变量的部分衍生物来计算它。对于几个变量的实现函数,Jacobian矩阵将减少为梯度向量

定义

作为限制

实际变量fx的函数在其的一个点A中是可区分的,如果其域包含一个打开的间隔i包含a ,并且限制

存在。这意味着,对于每个积极的实际数字 (甚至很小),存在一个积极的实际数字因此,对于每个h然后定义, 垂直条表示绝对值。这是极限的(ε,δ)定义的一个例子。

如果函数fa处是可区分的,即如果存在限制l ,则该限制称为ff派生。存在多个衍生物的符号。 f的衍生物可以表示 ,将视为“ f prime”。或者,它可以表示 读为“在A相对于xf衍生物。请参见下面的符号。如果f是在其域中每个点具有导数的函数,则可以通过将每个点x映射到x处的f的衍生物值来定义一个函数。此函数写为f ' ,称为衍生函数f的衍生物。有时, F最多具有衍生物(但不是全部)域的点。每当定义f 'a并且在其他地方未定义时,其值等于f 'a的函数也称为f的导数。它仍然是一个函数,但其​​域可能小于f的域。

例如,让成为平方函数: 。那么衍生物定义中的商是

最后一步中的划分是有效的 。靠近 ,该表达越接近价值 。限制存在,以及每个输入限制是 。因此,平方函数的导数是双重函数:
用黑色绘制的函数图和该图的切线线,以红色绘制。切线线的斜率等于在标记点处函数的导数。
在可区分函数的不同点处的导数。在这种情况下,导数等于

衍生物的定义中的比率是线的斜率通过函数图上的两个点 ,特别是要点 。作为变小,这些点越来越近,并且该线的斜率接近限制值,切线的斜率 。换句话说,衍生物是切线的斜率。

使用无限量

思考衍生物的一种方法是函数输出的无限变化的比率输入的无限变化。为了使这一直觉严格,需要一种操纵无限量的规则制度。超现实数字的系统是一种处理无限和无限量的方法。超大型是实际数字扩展对于任何有限的条款。这样的数字是无限的,它们的倒数是无限的。超现实数字在演​​算基础上的应用称为非标准分析。这提供了一种定义微积分基本概念的方法在莱布尼兹符号中。因此, 变成

对于任意无限的 , 在哪里表示标准零件函数,该功能“绕”每个有限的超现实到最近的真实。采用平方功能再次举例

连续性和不同性

该函数在标记点上没有衍生物,因为该函数在那里不连续(具体而言,它具有跳跃不连续性)。
绝对值函数是连续的,但在x = 0时无法区分,因为切线斜率与左侧的相同值的接近。

如果可区分的 , 然后也必须是连续 。例如,选择一个点然后让成为返回所有值1的步骤函数少于 ,并为所有人返回不同的值10 大于或等于 。功能不能有派生词 。如果是负面的位于步骤的低部分,因此从很陡;作为倾向于零,斜率倾向于无穷大。如果是积极的位于步骤的高部分,所以从坡度为零。因此,割线线不接近任何单个坡度,因此不存在差异商的极限。但是,即使一个函数在某个时刻是连续的,那里也可能没有可区分的。例如,是连续的 ,但那里没有可区分。如果是积极的,然后从0到割线线的斜率是一个;如果是负的,然后是从 。可以以图形方式将其视为“扭结”或“ cusp” 。即使是具有光滑图的函数,在其切线为垂直的点也无法区分:例如, 。总而言之,具有导数的函数是连续的,但是有连续的函数没有衍生物。

实践中发生的大多数功能在所有点或几乎每个点都具有衍生物。在微积分史的早期,许多数学家认为在大多数点上连续的功能都是可区分的。在温和的条件下(例如,如果该函数是单调Lipschitz功能),则是正确的。但是,在1872年,Weierstrass发现了一个函数的第一个示例,该函数无处不在,但无处可区分。现在,此示例称为Weierstrass函数。 1931年,斯特凡·巴纳克(Stefan Banach)证明,在某个时候具有导数的函数集是在所有连续函数的空间中的微薄集合。非正式地,这意味着几乎没有任何随机连续函数在一个点上都具有衍生物。

符号

函数导数的一个常见符号是leibniz符号。它们被写为两个差异的 ,这是由Gottfried Wilhelm Leibniz于1675年引入的。 被视为因变量和自变量之间的功能关系。第一个衍生物用 ,读为“ 关于 “。该导数可以交替将其视为差分运算符在函数中的应用, 使用符号表示较高的衍生物为了 - 衍生物的 。这些是用于导数操作员多个应用的​​缩写;例如, 与某些替代方案不同,Leibniz表示法涉及分化变量的明确规范,在分母中,在使用多个相互关联的数量时消除了歧义。可以使用链条规则表示组成函数的导数:如果然后

差异化的另一个常见符号是在函数的符号中使用质标 。由于约瑟夫·路易斯·拉格兰奇(Joseph-Louis Lagrange) ,这被称为主要符号。第一个衍生物写为 ,读为“ “, 或者 ,读为“ 同样,第二个衍生物可以写为 , 分别。为了表示超出这一点的较高衍生品的数量,一些作者在上标中使用罗马数字,而其他作者则将数字放在括号中,例如或者后者符号概括以产生符号为了 -衍生物的

牛顿的符号点表示法,将点放在符号上,以表示时间衍生物。如果 ,然后第一个和第二个衍生物可以写为 , 分别。该符号仅用于时间或电弧长度的衍生物。它通常用于物理微分几何形状微分方程中。但是,对于高阶导数(4或更多),点表示法变得难以管理,无法处理多个自变量。

另一个符号是d通用,该通知代表符号的差分运算符第一个衍生物是写的较高的衍生品用上标写,所以 - 衍生物是该符号有时称为Euler符号,尽管Leonhard Euler似乎没有使用它,并且该符号是LouisFrançoisAntoineArbogast引入的。为了指示部分导数,用下标表示的变量,例如给定函数它的部分导数相对于可以写或者较高的部分衍生物可以用上标或多个下标表示,例如

计算规则

原则上,可以通过考虑差异商并计算其极限来从定义中计算出函数的导数。一旦知道了一些简单函数的衍生物,就可以更轻松地使用规则来计算其他功能的衍生物,从而从更简单的功能中获得更复杂函数的衍生物。找到衍生物的过程称为分化

基本功能规则

以下是最常见基本功能的导数的规则。这里, 是一个真实的数字, 数学常数约2.71828

合并功能的规则

鉴于那个是功能。以下是从基本功能的导数中推论功能导数的一些最基本规则。

  • 恒定规则:如果是恒定的,然后 ,,,,
  • 总规则
    对于所有功能和所有实数
  • 产品规则
    对于所有功能 。作为特殊情况,该规则包括事实每当是一个常数,因为根据恒定规则。
  • 商规则
    对于所有功能在所有g ≠0的输入。
  • 复合功能链条规则:如果 , 然后

计算示例

这里使用链条规则和第三项使用产品规则计算第二项。基本函数的已知衍生物 ,,,, ,,,, ,,,, , 和 ,以及常数也使用。

高阶导数

高阶导数意味着函数反复分化。鉴于是一个可区分的函数,是是第一个衍生物,称为 。衍生物的第二个导数,称为 ,以及第三个导数,称为 。通过继续此过程,如果存在, -衍生物作为衍生物的衍生物 -衍生物或秩序的导数如上所述,函数的衍生物的概括可能被称为 。具有连续的衍生物称为次可微分。如果是 -衍生物是连续的,然后据说该功能是不同的类别 。具有无限多个衍生物的函数称为无限差异光滑。无限微分函数的一个例子是多项式。反复区分此函数会导致恒定函数,并且该函数的无限后续衍生物均为零。

其应用之一中,高阶导数可能在物理学上具有特定的解释。假设一个函数代表当时对象的位置,那么该函数的第一个衍生物是对象相对于时间的速度。该函数的第二个导数是对象相对于时间的加速度,第三个导数是混蛋

在较高的维度中

向量值函数

矢量值函数真实变量的一个将实数发送给某些向量空间中的向量 。矢量值函数可以分为其坐标函数 , 意思是 。例如,其中包括参数曲线或者 。坐标函数是实值函数,因此上述衍生物的定义适用于它们。衍生物的被定义为向量,称为切线向量,其坐标是坐标函数的衍生物。那是,

如果存在极限。分子中的减法是向量的减法,而不是标量。如果是存在的每个价值 , 然后是另一个矢量值函数。

偏导数

函数可以取决于多个变量。几个变量函数的部分导数是其相对于其中一个变量的导数,而其他变量则保持恒定。部分衍生物用于矢量积分差异几何形状。与普通导数一样,存在多种符号:函数的部分衍生物关于变量被各种表示

,,,, ,,,, ,,,, , 或者 ,,,,

除其他可能性。可以将其视为功能的变化速率 -方向。这里是一个称为部分导数符号的圆形d 。为了区分字母d ,有时将其发音为“ der”,“ del”或“ partial”而不是“ dee”。例如,让 ,然后是功能的部分导数关于两个变量分别是:

通常,函数的部分导数在这个方向上在这一点被定义为:

这对于研究几个实际变量的功能是基础。让成为一个实用值的功能。如果所有部分衍生物关于在该点定义 ,这些部分衍生物定义了矢量

称为梯度 。如果在某些域中的每个点都是可区分的,那么梯度是矢量值函数绘制了重点向矢量 。因此,梯度决定了矢量场

定向衍生物

如果是一个实现的功能 ,然后是测量其在坐标轴方向上的变化。例如,如果 ,然后其部分导数测量在里面方向。但是,它们没有直接测量沿任何其他方向,例如沿对角线 。这些是使用定向衍生物测量的。选择一个向量 ,然后在...方向在这一点是:

在某些情况下,更改向量的长度后,计算或估计方向衍生物可能会更容易。通常,这样做是将问题转变为单位向量方向的定向衍生物的计算。要查看其工作原理,请假设v = λuv的方向上u是单位向量。将h = k / λ取代为差异商。差异商变成:

这是F相对于U的方向导数的差异商的λ倍。此外,将极限作为h倾向于零的限制与采用限制相同,因为hk是彼此的倍数,因为k趋于零。因此, d vf )= λDu f 。由于这种恢复属性,因此通常仅考虑单位向量的定向衍生物。

如果F的所有部分衍生物存在并且在X处连续存在,则它们通过公式在V方向V上确定F的定向衍生物::

这是总衍生物定义的结果。因此,定向衍生物在V中是线性的,这意味着D V + Wf )= D VF ) + D WF

fr m中值的函数时,相同的定义也可以。上面的定义应用于向量的每个组件。在这种情况下,定向导数是r m中的向量。

总导数,总差分和雅各布矩阵

什么时候是来自开放子集的功能 ,然后是在选定的方向上是最佳的线性近似在这一点上和那个方向。但是,什么时候 ,没有一个定向衍生物可以完整地了解 。总导数通过一次考虑所有方向提供了完整的图片。也就是说,对于任何向量开始于 ,线性近似公式具有:

与单变量的衍生物类似, 选择以使此近似值中的误差尽可能小。总衍生物是独特的线性转换这样这里是一个向量 ,因此分母中的规范是标准长度 。然而, 是一个向量 ,分子中的标准是标准长度 。如果是一个向量开始的 , 然后称为经过

如果总衍生物存在于 ,然后所有的部分衍生物和定向衍生物存在于 ,所有 ,,,, 是定向的导数在这个方向上 。如果使用协调函数编写,以便 ,然后可以使用部分导数作为矩阵表示总导数。这个矩阵称为雅各布矩阵

总衍生物的存在严格比所有部分衍生物的存在都要强,但是,如果存在部分衍生物并且是连续的,则总衍生物存在,由雅各比族给出,并且不断依赖于

总导数的定义集成了一个变量中衍生物的定义。也就是说,如果是真实变量的实用值的实现函数,而当存在通常的导数时,就存在总导数。 Jacobian矩阵还原为1×1矩阵,其唯一的入口是衍生物 。这个1×1矩阵满足了属性

为了改变变量,这是函数的陈述是最好的线性近似

函数的总导数不会以与单变量的情况相同的方式给出另一个函数。这是因为多变量函数的总导数必须比单变量函数的导数记录更多的信息。取而代之的是,总导数从源的切线束给目标的切线束。

第二,第三和高阶总导数的自然类似物不是线性变换,不是切线束上的函数,也不是通过反复采用总导数而构建的。高阶导数的类似物(称为射流)不能是线性变换,因为高阶导数反映了微妙的几何信息,例如凹陷,无法用线性数据(例如向量)来描述。它不能在切线束上是一个函数,因为切线束只有用于基本空间和方向导数的空间。由于喷气机捕获了高阶信息,因此它们将其作为参数的其他坐标,代表方向上的高阶变化。由这些其他坐标确定的空间称为射流束。函数的总导数与部分衍生物之间的关系与 -功能的订单喷射及其部分订单的部分衍生物小于或等于

通过反复采用总导数,人们获得了更高版本的Fréchet衍生物,专门为 。这 -总衍生物可以解释为地图

这需要一点并将其分配为空间的元素 -线性地图 - “最佳”(从某种确切的意义上) -线性近似在那时候。通过对角图预先编译 ,,,, ,可以从广义的泰勒系列开始在哪里用恒定函数识别是向量的组成部分 , 和作为线性变换。

概括

衍生物的概念可以扩展到许多其他设置。共同的线程是在一个点上函数的导数作为该点函数的线性近似

  • 衍生物的重要概括是复杂变量复杂函数,例如(域中的域)函数 。通过替换定义中复杂变量的真实变量,获得了这种函数的衍生物的概念。如果确定通过编写一个复杂的数字作为 ,然后与作为功​​能,肯定是可区分的 (从某种意义上说,其部分衍生物都存在),但是相反的是不正确的:仅在实际衍生物是复杂的线性时,复杂的衍生物才存在,并且在称为cauchy -Riemann方程的部分衍生物之间存在关系- 请参见Holomorphicric功能
  • 另一个概括涉及可区分或光滑的歧管之间的功能。直觉地说这种多种多样是一个可以在每个点附近近似的空间通过称为切线空间的矢量空间:原型示例是一个光滑的表面 。 (可区分)地图的导数(或差异) 在一定程度上 ,然后是从切线空间的线性图到切线的空间 。派生函数变成了在切线捆绑包之间的地图 。该定义在差异几何形状中是基本的,并且具有许多用途 - 请参见Pushforward(差异)回溯(差异几何)
  • 还可以定义分化的媒介空间(例如Banach空间)之间的地图,其中这些概括是Gateaux衍生物Fréchet衍生物
  • 经典导数的一个缺陷是,许多功能无可分割。然而,有一种方法可以扩展衍生物的概念,以便使用称为弱衍生物的概念可以区分所有连续功能和许多其他功能。这个想法是将连续函数嵌入在称为分布空间的较大空间中,而只要求函数平均可以区分。
  • 衍生物的特性启发了代数和拓扑中许多类似物体的引入和研究 - 例如,请参见差分代数
  • 离散等效的分化是有限差异。差分微积分的研究与时间尺度演算有限差异的演算结合在一起。
  • 算术衍生物涉及通过质量分解整数定义的函数。这是与产品规则的类比。

也可以看看