可数集

数学中,如果它是有限,则可以在与自然数集的一对一信件中制成一。同等地,如果从自然数中存在一个注入函数,则一组是可计数的。这意味着集合中的每个元素可能与唯一的自然数相关联,或者可以一次计算集合的元素,尽管由于无限数量的元素,计数可能永远不会完成。

从更技术上来说,假设可数选择的公理,如果其基数(集合的元素数)不大于自然数的基数,则可以计数。不可有限的可数集被据说是无限的

该概念归因于乔治·坎托(Georg Cantor) ,他证明了不可数的集合的存在,即不可数的集合。例如,实数集。

关于术语的注释

尽管此处定义的术语“可计数”和“可计数无限”是很普遍的,但术语并不普遍。另一种样式使用可计数的意思是这里所谓的无限无限,最多可计的表示这里称为可数的内容。为了避免歧义,人们可能会将自己限制在“最多可计划的”和“无数的无限”术语中,尽管关于简洁,这是两全其最坏的世界。建议读者在文献中遇到“可数”一词​​时检查使用的定义。

也可以使用列出的术语和不可使用的术语,例如分别提到可数和次数无限的术语,但是随着定义的变化,读者再次被建议检查使用中的定义,尤其是意识到递归枚举的差异。

定义

如果:

  • 它的基数小于或等于(Aleph-null),这是一组自然数的基数。
  • 存在一个注入函数。
  • 是空的,或者存在滤波功能。
  • 存在和一个子集之间的肉体映射。
  • 是有限()或无数的无限。

所有这些定义都是等效的。

如果:

  • 它的基数正是。
  • 在和之间有一个注射式和冲洗性(因此)(因此)映射。
  • 与一对一的信件。
  • 可以以无限顺序排列的元素,其中列出的每个元素都不同。

一组是不可数的,即它的基数大于其基数。

历史

1874年,在他的第一盘理论文章中,Cantor证明了一组实际数字是无数的,因此并非所有无限集都是可计数的。 1878年,他使用一对一的信件来定义和比较红衣主教。 1883年,他用无限的序数扩展了自然数量,并使用了一组序数来产生一组具有不同无限基数的集合。

介绍

一组是元素的集合,可以在许多方面进行描述。一种方法是仅列出其所有元素;例如,可以表示由整数3、4和5组成的集合表示称为花名册形式。但是,这仅对小型组有效。对于较大的集合,这将耗时且容易出错。如果作者认为读者可以轻松猜测什么,而不是列出每个元素,而是使用省略号(“ ...”)来表示启动元素和集合元素之间的许多元素。 ;例如,大概表示整数从1到100。但是,即使在这种情况下,仍然可以列出所有元素,因为集合中的元素数量是有限的。如果我们编号集合1、2等的元素,以至于,这为我们提供了“大小集”的通常定义。

从整数到数字

有些集合是无限的;这些集合的元素不仅仅是任何可以指定的整数。 (不管指定的整数有多大,例如,无限集的元素不仅仅是元素。)例如,一组自然数的集合,可说的是无限的元素,而且我们不能使用任何自然数来赋予其尺寸。将集合分为不同的类似乎很自然:将所有包含一个元素的集合放在一起;所有包含两个元素的集合; ...;最后,将所有无限套装放在一起,并认为它们具有相同的尺寸。此观点适用于无数的无限集,并且是乔治·坎托(Georg Cantor)作品之前的普遍假设。例如,有许多奇怪的整数,无限的甚至许多整数,而且总体上也无限很多整数。我们可以将所有这些集合具有相同的“大小”,因为我们可以安排事情,以便对于每个整数,都有一个独特的整数:

或者,更一般,(请参阅图片)。我们在这里所做的是将整数和甚至整数安排到一对一的信函中(或培养),该功能是在两个集合之间绘制的函数,以使每个集合的每个元素都对应于另一个元素放。这种“大小”的数学概念,即基数,是当它们之间有两组时,两组的大小是相同的。我们称所有与整数一对一的对应的套件,并说它们具有基数。

乔治·康托尔(Georg Cantor)表明,并非所有无限集合都是无限的。例如,实数不能与自然数(非阴性整数)一对一地置于对应关系中。一组实数比一组自然数具有更大的基础性,据说是不可数的。

正式概述

从定义上讲,如果存在自然数之间和一个子集,则可以计算集合。例如,定义对应关系

由于每个元素都与精确的一个元素配对,反之亦然,这定义了一个两者,并显示了可计数的。同样,我们可以显示所有有限集都是可计数的。

至于无限集的情况,如果两者之间进行两者进行两者的态度,则一组是无限的。作为示例,请考虑集合,积极整数以及甚至整数的集合。我们可以通过展示对自然数量的两者进行射击,可以证明这些集合是无限的。这可以使用分配和

每个无限的无限集都是可计数的,每个无限的可计数集都是无限的。此外,自然数的任何子集都是可计数的,更普遍的是:

定理-可计数集的子集是可计数的。

所有有序对的自然数(两组自然数的笛卡尔产物,都是无限的,可以通过遵循图片中的一条路径来看:

Cantor配对功能为每对自然数分配一个自然数

由此产生的映射进行如下:

该映射涵盖了所有此类有序的对。

这种三角形映射的这种形式通过反复映射 - 库的前两个要素到自然数字,从而将自然数(即自然数量和自然数)递归地概括为自然数。例如,可以写为。然后地图为5次地图,然后映射到39。由于不同的2键键,即,映射到不同的自然数字,因此,单个元素在两个n-tupers之间的差异足以确保n-tuply被映射到不同的自然数量。因此,证明了从一组tuples到自然数的注入。对于有限的许多不同集的笛卡尔产物制造的一组,每个元组中的每个元素都有与自然数的对应关系,因此每个元组都可以用自然数写成,然后应用相同的逻辑来证明定理。

定理-有限的许多可计数集的笛卡尔产品是可计数的。

所有整数的集合和所有理性数字的集合看起来似乎都比大得多。但是外观可能是欺骗的。如果将一对被视为庸俗分数的分子和分母(以整数和整数为单位的分数),则对于每个正分数,我们可以提出与它相对应的独特自然数。此表示还包括自然数,因为每个自然数也是一部分。因此,我们可以得出结论,正好有很多积极的理性数字与积极的整数一样。如下所示,所有理性数字也是如此。

定理 - (所有整数的集合)和(所有有理数的集合)都是可计数的。

以类似的方式,代数数是可计数的。

有时,一个以上的映射是有用的:一个值得显示的集合是一对一的映射(注入),然后证明,如果一对一映射到自然数组集,则可以证明是可计数的。例如,一组正理性数字可以轻松地映射到自然数对(2个tuplys)的集合,因为地图是。由于对自然数的一对一映射(实际上是一对一的对应关系或两者),如上图所示,正有一对一的映射(实际上是一对一的对应关系或两者的对应关系或两者的映射),因此被证明是可计数的。

定理-任何可数集的有限结合都是可数的。

鉴于知道存在无数的集合,我们可能会怀疑是否可以进一步推动最后一个结果。答案是“是”和“否”,我们可以将其扩展,但是我们需要假设一个新的公理。

定理- (假设可数选择的公理)可以计数许多可数集的结合是可计数的。

可计数数量的枚举

例如,给定的可数集,我们首先分配每个组的每个元素,然后使用上面看到的三角枚举的变体分配每个元组索引:

我们需要可数选择的公理来同时索引所有集合。

定理-所有有限长度的自然数序列的集合都是可计数的。

该集合是长度-1序列,长度-2序列,长度-3序列的结合,每个序列都是可计数集(有限的笛卡尔产物)。因此,我们谈论的是可计数集的可数结合,这是以前的定理可计数的。

定理-自然数的所有有限子集的集合都是可计数的。

任何有限子集的元素都可以订购为有限序列。只有许多有限序列可以计数,因此也只有许多有限的子集。

定理 - 让和设置。

  1. 如果该函数是注入性的并且是可计数的,则是可计数的。
  2. 如果该函数是分流的并且是可计数的,则是可计数的。

这些源自可计数集的定义为注入 /过滤函数。

Cantor的定理断言,如果是一组,并且是其功率集,则是所有子集的集合,则没有从to中进行冲销函数。文章Cantor定理给出了证明。作为此的直接结果和上面的基本定理:

命题 - 集合不可数;即这是无数的。

有关此结果的详细说明,请参阅Cantor的对角线论点

一组实数是不可数的,所有无限序列的自然数序列也是如此。

集合理论的最小模型是可计数的

如果有一个集合是ZFC集理论的标准模型(请参阅内部模型),则有一个最小的标准模型(请参阅可构造宇宙)。 Löwenheim -Skolem定理可用于证明该最小模型是可数的。即使在此模型中,“非数性”的概念即使是有意义的,尤其是该模型包含的元素是:

  • M的子集,因此可数,
  • 但从M的角度来看,

在设定理论的早期,被视为悖论,请参见Skolem的悖论

最小的标准模型包括所有代数数字和所有有效计算的先验数字,以及许多其他类型的数字。

总订单

可计数集可以以各种方式完全订购:例如:

  • (另请参见序数):
    • 自然数的通常顺序(0、1、2、3、4、5,...)
    • 整数按顺序(0、1、2、3,...; -1,-2,-3,...)
  • 其他(订单不好):
    • 整数的通常顺序(...,-3,-2,-1、0、1、2、3,...)
    • 通常的理性数字顺序(不能明确写入有序列表!)

在此处的两个井订单示例中,任何子集都有最少的元素。在两个非井订单的示例中,某些子集都没有最少的元素。这是确定总订单是否也是井订单的关键定义。

也可以看看