共同体

在类别理论中，相关或分类总和是一种结构，其中包括示例集合和拓扑空间的不相交结合，组的自由产品以及模块和向量空间的直接总和。一个物体家族的共同点本质上是家庭中每个对像都承认形态的“最不具体的”对象。它是分类产品的类别理论双重概念，这意味着定义与产品相同，但所有箭头都逆转。尽管这种名称和符号看似无害的变化，但相关的可能是并且通常与产品截然不同。

定义

让 $\text{[math]}$ 成为类别，让 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为对象 $\text{[math]}$ 一个对象称为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 书面 $\text{[math]}$ 或者 $\text{[math]}$ 或有时简单 $\text{[math]}$ 如果存在形态 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 满足以下通用属性：对于任何对象 $\text{[math]}$ 和任何形态 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 存在独特的形态 $\text{[math]}$ 这样 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 也就是说，以下图上下班：

独特的箭头 $\text{[math]}$ 使此图通勤可能被表示 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 或者 $\text{[math]}$ 形态 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 被称为规范注射，尽管它们不需要注射甚至是一元。

相关的定义可以扩展到由集合索引的任意对象家族 $\text{[math]}$ 家庭的co夫 $\text{[math]}$ 是一个对象 $\text{[math]}$ 以及一系列形态学 $\text{[math]}$ 因此，对于任何对象 $\text{[math]}$ 以及任何某些某些某些态度 $\text{[math]}$ 存在独特的形态 $\text{[math]}$ 这样 $\text{[math]}$ 也就是说，每个图都为每个图表通勤 $\text{[math]}$ ：

共同体 $\text{[math]}$ 家庭 $\text{[math]}$ 通常表示 $\text{[math]}$ 或者 $\text{[math]}$

有时是形态 $\text{[math]}$ 可以表示 $\text{[math]}$ 表明其对个人的依赖 $\text{[math]}$ s。

例子

集合类别中的相关性仅仅是与地图I _J是包含地图的不相交联合。与直接产品不同，其他类别中的互联物并不明显基于集合的概念，因为工会在保存操作方面的行为不佳（例如，两个组的结合不需要组成），因此在不同类别可以彼此截然不同。例如，群体类别中称为自由产品的相关相很复杂。另一方面，在Abelian组（同样适用于向量空间）的类别中，称为直接总和的coproduct由直接乘积元素组成，这些元素仅有有限的许多非零项。（因此，在有限的许多因素的情况下，它与直接产品完全一致。）

鉴于换向环r ，可交换r-代数类别的相关是张量产品。在（非共同） r -Algebras的类别中，相关是张量代数的商（请参阅联合代数的免费产品）。

在拓扑空间的情况下，相互关系是与其不连接的联合拓扑结合的脱节工会。也就是说，这是基础集的一个不相交的结合，并且从一个相当明显的意义上讲，在每个空间中打开了打开的集合。在尖的空间类别中，同质理论的基础上，相关的是楔形总和（相当于在公共基点上加入具有基点的空间集合）。

脱节联盟的概念秘密地基于上述示例：阿贝尔群体的直接总和是由“几乎”分离联合（所有非零元素的分离联合）产生的群体，以及一个共同的零元素），类似于向量空间：空间：被“几乎”的脱节联盟跨越；组的免费产品是由类似“几乎不相交”联合的所有字母集生成的，其中没有两个集合中的两个要素可以上下班。从通用代数的意义上讲，这种模式适用于任何种类。

$l 1$ 总和不容易被概念化为“几乎不相关”的总和，但是单位球几乎可以偶然地产生一个单位球是辅助因子。

POSET类别的相关性是联接操作。

讨论

上面给出的共同构造实际上是类别理论中构成的特殊情况。类别中的共同点 $\text{[math]}$ 可以定义为来自离散类别的任何函数的colimit $\text{[math]}$ 进入 $\text{[math]}$ 。不是每个家庭 $\text{[math]}$ 一般而言，将有一个合并，但如果确实如此，那么相关的含义是独一无二的：如果 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是家族的两个互联物 $\text{[math]}$ ，然后（按照索引的定义）存在独特的同构 $\text{[math]}$ 这样 $\text{[math]}$ 每个 $\text{[math]}$ 。

与任何普遍的特性一样，可以将共同解体理解为一种普遍的形态。让 $\text{[math]}$ 是分配给每个对象的对角线函子 $\text{[math]}$ 有序对 $\text{[math]}$ 和每个形态 $\text{[math]}$ 这对 $\text{[math]}$ 。然后是相关 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 由普遍的形态给予函子 $\text{[math]}$ 从对象 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 。

由空集（即，一个空的共同点）索引的索引与初始对象相同 $\text{[math]}$ 。

如果 $\text{[math]}$ 是一套，以至于所有索引的家庭的合并 $\text{[math]}$ 存在，然后可以以兼容的方式选择产品，从而使coproduct变成函子 $\text{[math]}$ 。家庭的co夫 $\text{[math]}$ 然后经常被表示

\coprod _{j\in J}X_{j}

和地图 $\text{[math]}$ 被称为自然注射。

放开 $\text{[math]}$ 表示从 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ （也就是，一个hom的 $\text{[math]}$ ），我们有自然的同构

\operatorname{Hom}_C\left(\coprod_{j\in J}X_j,Y\right) \cong \prod_{j\in J}\operatorname{Hom}_C(X_j,Y)

由绘制态度的每一个元组绘制的两次射击

(f_j)_{j\in J} \in \prod_{j \in J}\operatorname{Hom}(X_j,Y)

（集合中的产品，集合类别，即笛卡尔产品，所以它是形态的元组）

\coprod_{j\in J} f_j \in \operatorname{Hom}\left(\coprod_{j\in J}X_j,Y\right).

该图是从图表的通勤性出发的：任何形态 $\text{[math]}$ 是元组的副作用

(f\circ i_j)_{j \in J}.

它是从普遍的结构中进行的注射，该结构规定了此类地图的独特性。同构的自然性也是该图的结果。因此，逆向霍姆函数将共同生物变成产品。换句话说，hom-unctor，被视为相反类别的函子 $\text{[math]}$ 设置是连续的；它保留了限制（在 $\text{[math]}$ 是一个产品 $\text{[math]}$ ）。

如果 $\text{[math]}$ 是有限套件，说 $\text{[math]}$ ，然后是对象 $\text{[math]}$ 经常被表示 $\text{[math]}$ 。假设C中所有有限的共同生物均存在如上所述，相关函数已选择为上述，而0表示C对应于空coproduct的C的初始对象。然后我们有天然的同构

X\oplus (Y \oplus Z)\cong (X\oplus Y)\oplus Z\cong X\oplus Y\oplus Z

X\oplus 0 \cong 0\oplus X \cong X

X\oplus Y \cong Y\oplus X.

这些特性与交换性单体的特性正式相似。具有有限共同体的类别是对称单体类别的示例。

如果类别的对象为零 $\text{[math]}$ ，那么我们有独特的态度 $\text{[math]}$ （自从 $\text{[math]}$ 是终端），因此是形态主义 $\text{[math]}$ 。自从 $\text{[math]}$ 也是初始的，我们有一个规范的同构 $\text{[math]}$ 如前一段。因此，我们有态度 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，通过它，我们推断出规范的形态 $\text{[math]}$ 。这可以通过诱导从任何有限的相关造型到相应产品扩展到规范的形态。这种形态通常不必是同构。在grp中，这是适当的表达，而在集合_中（尖的集合类别）则是适当的单态。在任何较前的类别中，这种形态都是同构的，相应的对像被称为两种词。具有所有有限两种型的类别被称为半差异类别。

如果所有物体的家庭索引 $\text{[math]}$ 在中有互联物 $\text{[math]}$ ，然后由函数组成 $\text{[math]}$ 。请注意，与产品一样，该函子是协变量的。

共同体

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讨论

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