交换图

在数学，尤其是在类别理论中，换向图是一个图表，其图中的所有定向路径具有相同的起点和端点都会带来相同的结果。据说，交换图在类别理论中扮演着方程式在代数中发挥作用的作用。

描述

换档图通常包括三个部分：

对象（也称为顶点）
形态（也称为箭头或边缘）
路径或复合材料

箭头符号

在代数文本中，可以用不同的箭头表示形态的类型：

单态可能被标记为 $\text{[math]}$ 或a $\text{[math]}$ 。
表达可能被标记为 $\text{[math]}$ 。
同构可以用 $\text{[math]}$ 。
虚线的箭头通常表示存在指示的形态存在的说法（每当图所示的其余部分都存在）；箭头可以选择标记为 $\text{[math]}$ 。
- 如果形态的添加是唯一的，则可以标记虚线的箭头 $\text{[math]}$ 或者 $\text{[math]}$ 。

不同箭头的含义并非完全标准化：用於单态，胚芽和同构的箭头也用于注射，溢流和两类箭头，以及模型类别中的辅助，纤维纤维纤维和弱等量。

验证交通量

对于任何有限数量的侧面（包括1或2）的多边形，换向性是有意义的，如果每个多边形子图都是可交换的，则图是可交值的。

请注意，图可能是非交通的，即该图中不同路径的组成可能不会给出相同的结果。

例子

示例1

在表达第一个同构定理的左图中，三角形的交换意味着 $\text{[math]}$ 。在右图中，正方形平均值 $\text{[math]}$ 。

示例2

为了使以下图表通勤，必须满足三个平等性：

$r\circ h\circ g=H\circ G\circ l$
$m\circ g=G\circ l$
$r\circ h=H\circ m$

在这里，由于从最后两个开始，第一个平等就遵循，因此表明（2）和（3）是正确的，以便以图表的通勤。但是，由于平等（3）通常不从其他两个遵循，因此通常不足以具有平等性（1）和（2），如果一个人表明该图的通勤。

图追逐

图表追逐（也称为图形搜索）是一种尤其是在同源代数中使用的数学证明方法，在同源代数中，人们通过追踪交换图的元素来建立某种形态的特性。通过图表的证明通常涉及该图的属性的正式使用，例如注射式或冲销图或精确序列。构建了三段论，该图的图形显示只是一种视觉辅助。因此，一个人最终在图周围“追逐”元素，直到构造或验证所需的元素或结果为止。

图表追逐的示例包括通常给出五个引理的蛇，蛇会，曲折的引理和九个引理的示例。

在高级理论中

在较高的类别理论中，人们不仅考虑了对象和箭头，而且考虑箭头之间的箭头，在箭头之间的箭头之间，箭头之间，等等。例如，小类别的类别CAT自然是2类，其函子作为箭头和自然转换为函子之间的箭头。在这种情况下，交换图也可能包括这些较高的箭头，通常以以下样式描绘出来： $\text{[math]}$ 。例如，以下（有点琐碎的）图描绘了两个类别C和D ，以及两个函子f ， g ： c → d和一个自然变换α ： f⇒g ：

两类中有两种组成（称为垂直组成和水平组成），也可以通过粘贴图描绘它们（有关示例，请参见2类别＃定义）。

图表为函子

C类中的交换图可以解释为从索引类别J到C的函数；一个称函子为图。

更正式的是，交换图是由Poset类别索引的图表的可视化。这样的图通常包括：

索引类别中每个对象的节点，
用于生成一组形态的箭头（省略可以表达为组成的身份图和形态的箭头），
图（两个对象之间地图的不同组成的平等）的换入性，对应于POSET类别中两个对象之间地图的唯一性。

相反，给定交换图，它定义了一个poset类别，其中：

对像是节点，
当且仅当节点之间存在（定向）路径时，任意两个对象之间存在形态，
与这种形态是唯一的关系（地图的任何组成都由其域和目标定义：这是通勤性公理）。

但是，并非每个图都通勤（图的概念严格概括了交换图）。作为一个简单的例子，具有内态的单个对象的图（ $\text{[math]}$ ），或带有两个平行箭头（ $\text{[math]}$ ，那是， $\text{[math]}$ ，有时称为Quiver ），如均衡器的定义中所使用的无需通勤。此外，当物体或某些态度的数量很大（甚至是无限）时，图可能凌乱或不可能绘制。

也可以看看

数学图