质量中心

在物理学中，在任何给定时间，分布式质量总和的加权相对位置为零，空间中质量分布的质量中心（有时称为重中心或平衡点）是独特的点。这是可以施加力来引起无角加速度的线性加速度的要点。相对于质量中心配制时，力学的计算通常会简化。这是一个假设的点，可以假设对象的整个质量集中以可视化其运动。换句话说，质量的中心是给定对象的粒子，以应用牛顿运动定律。

在单个刚体的情况下，质量中心与身体有关，如果体的密度均匀，则将位于质心。质量中心可能位于身体外部，有时是空心或开放形物体（例如马蹄）的情况。在分布单独的物体（例如太阳系行星）的情况下，质量中心可能与系统中任何个别成员的位置都不符。

质量中心是涉及分布在空间中的质量的机械计算的有用参考点，例如行星体的线性和角动量和刚体动力学。在轨道力学中，行星的运动方程式被配制为位于质量中心的点质量（有关详细信息，请参见Barycenter（天文学））。质量框架的中心是一个惯性框架，其中系统的质量中心相对于坐标系的原点处于静止状态。

历史

锡拉丘兹的古希腊数学家，物理学家和工程师阿基米德（Archimedes）对重心或体重的重心概念进行了广泛的研究。他对重力的简化假设合作，等于统一场，因此到达了我们现在称为质量中心的数学特性。阿基米德（Archimedes）表明，沿杠杆各个点的重量在杠杆上施加的扭矩与如果将所有重量移至一个点（他们的质量中心）相同。阿基米德在浮动物体上的工作中证明，浮动物体的方向是使其质量中心尽可能低的物体的方向。他开发了数学技术，以查找各种定义明确的形状均匀密度的物体质量中心。

为群众中心理论做出贡献的其他古老数学家包括亚历山大英雄和亚历山大的帕普斯。 In the Renaissance and Early Modern periods, work by Guido Ubaldi , Francesco Maurolico , Federico Commandino , Evangelista Torricelli , Simon Stevin , Luca Valerio , Jean-Charles de la Faille , Paul Guldin , John Wallis , Christiaan Huygens , Louis Carré , Pierre Varignon ,亚历克西斯·克莱拉特（Alexis Clairaut）进一步扩大了这一概念。

牛顿的第二定律在欧拉的第一定律中对群众的中心进行了重新制定。

定义

质量中心是空间中质量分布中心的独特点，该质量分布具有加权位置向量相对于该点总和为零的特性。与统计相比，质量中心是质量分布在太空中的平均位置。

粒子系统

如果是颗粒系统 $p i ， i = 1，...， n$ ，每个质量 $m i$ ，都位于坐标 $r i ， i = 1，...， n$ 的太空中质量中心满足情况

\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )=\mathbf {0} .

求解此方程可产生公式

\mathbf {R} ={\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i} \over \sum _{i=1}^{n}m_{i}}.

连续体积

如果质量分布与固体Q内的密度ρ（ r ）连续，则相对于体积V上的质量r中心相对于质量r的中心为零，该点的加权位置坐标的积分为零，即

\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV=0.

求解此方程以获取坐标r

\mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\mathbf {r} \,dV,

其中m是体积的总质量。

如果连续的质量分布的密度均匀，这意味着ρ是恒定的，则质量中心与体积的质心相同。

Barycentric坐标

两粒子系统的质量中心的坐标R ，_{质量为m 1}和_m 2 _，_由

\mathbf {R} ={{m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}} \over m_{1}+m_{2}}.

让总质量的百分比在这两个粒子之间划分从100％ p ₁和0％ p ₂至50％ p ₁和50％ p ₂至0％ p ₁和100％ p ₂不等，然后是质量R的中心沿线从p ₁移动到p ₂ 。每个点的质量百分比可以看作是该线上r的投影坐标，并称为Barycentric坐标。解释这一过程的另一种方法是在任意点上的机械平衡。分子给出的总力矩，然后通过质量中心的等效总力平衡。可以将其推广到三分和四个点，以分别定义平面和太空中的投影坐标。

具有周期性边界条件的系统

对于具有周期性边界条件的系统中的粒子，即使它们位于系统的相对侧，两个粒子也可以是邻居。这通常发生在分子动力学模拟中，例如，在随机位置形成簇，有时相邻的原子越过周期性边界。当群集跨越周期性边界时，质量中心的幼稚计算将不正确。计算周期系统质量中心的广义方法是处理每个坐标， x和y和/或z ，就好像它在圆上而不是线路一样。该计算将每个粒子的X坐标都映射到一个角度，

\theta _{i}={\frac {x_{i}}{x_{\max }}}2\pi

其中x _max是x方向上的系统大小，

\text{[math]}

。从这个角度，两个新点

\text{[math]}

可以生成，可以通过粒子的质量加权

\text{[math]}

对于质量中心或给出几何中心的值1：

{\begin{aligned}\xi _{i}&=\cos(\theta _{i})\\\zeta _{i}&=\sin(\theta _{i})\end{aligned}}

在里面 $\text{[math]}$ 飞机，这些坐标位于半径1的圆上。 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 来自所有粒子的值，平均值 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 计算。

{\begin{aligned}{\overline {\xi }}&={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\xi _{i},\\{\overline {\zeta }}&={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\zeta _{i},\end{aligned}}

其中

m

是所有颗粒的质量总和。

这些值被映射到一个新角度， $\text{[math]}$ ，可以从中获得质量中心的X坐标：

{\begin{aligned}{\overline {\theta }}&=\operatorname {atan2} \left(-{\overline {\zeta }},-{\overline {\xi }}\right)+\pi \\x_{\text{com}}&=x_{\max }{\frac {\overline {\theta }}{2\pi }}\end{aligned}}

可以为系统的所有维度重复该过程，以确定质量的完整中心。该算法的效用是，它允许数学确定质量的“最佳”中心在哪里，而不是猜测或使用群集分析来“展开”跨越周期性界限的群集。如果两个平均值为零， $\text{[math]}$ ，然后 $\text{[math]}$ 是不确定的。这是一个正确的结果，因为它仅在所有粒子均匀间隔时才发生。在这种情况下，它们的X坐标在周期系统中在数学上相同。

重心

重力中心是由于重力力消失所产生的扭矩的点。如果重力场可以被认为是均匀的，则质量中心和重心将相同。但是，对于围绕行星轨道的卫星，在没有其他扭矩的情况下，在卫星上施加了其他扭矩，从行星（分别更强和较弱的重力）之间的重力和进一步的重力区域中的轻微变化（梯度）可以引导扭矩将倾向于对齐卫星，以使其长轴是垂直的。在这种情况下，重要的是要区分重中心和群众中心。两者之间的任何水平偏移都将导致施加的扭矩。

质量中心是给定刚体的固定特性（例如没有缝隙或发音），而重中心可能还取决于其在不均匀的重力场中的方向。在后一种情况下，与群众中心相比，重心始终将始终位于主要吸引人的身体，因此随着其方向的改变，它将改变其在感兴趣的体内的位置。

在研究飞机，车辆和船只的动力学中，需要相对于群众中心解决。这是完全独立于重力本身是否是考虑因素的。将质量中心称为肯定中心是一种口语，但是它是常见的，当重力梯度效应可忽略不计时，重中心和群众中心是相同的，并且可以互换使用。

在物理学中，可以通过考虑连续体上重力力的结果来观察质量分布建模的好处。考虑一个体积V的体Q在体积中的每个点r处的密度ρ （ r ）。在平行重力场中，每个点r处的力f由

\mathbf {f} (\mathbf {r} )=-dm\,g\mathbf {\hat {k}} =-\rho (\mathbf {r} )\,dV\,g\mathbf {\hat {k}} ,

其中dm是点r的质量， g是重力的加速度，而

\text{[math]}

是定义垂直方向的单元向量。

选择音量中的参考点r ，并在此点计算结果的力和扭矩，

\mathbf {F} =\iiint _{Q}\mathbf {f} (\mathbf {r} )\,dV=\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\,dV\left(-g\mathbf {\hat {k}} \right)=-Mg\mathbf {\hat {k}} ,

和

\mathbf {T} =\iiint _{Q}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\times \mathbf {f} (\mathbf {r} )\,dV=\iiint _{Q}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\times \left(-g\rho (\mathbf {r} )\,dV\,\mathbf {\hat {k}} \right)=\left(\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV\right)\times \left(-g\mathbf {\hat {k}} \right).

如果选择参考点r，以使其是质量中心，则

\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV=0,

这意味着所得的扭矩t = 0 。由于所得的扭矩为零，因此身体将移动，好像它是质量集中在质量中心的粒子一样。

通过选择重心作为刚体的参考点，重力力不会导致身体旋转，这意味着可以将身体的重量视为集中在质量中心。

线性和角动量

可以通过测量颗粒相对于质量中心的位置和速度来简化粒子集合的线性和角动量。让颗粒p _i ， i = 1，...， n块的系统_位于坐标r _i ，速度为v _i 。选择一个参考点R并计算相对位置和速度向量，

\mathbf {r} _{i}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {v} .

系统的总线性动量和角动量是

\mathbf {p} ={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {v} ,

和

\mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\left[\mathbf {R} \times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {v} \right]+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {R} \times \mathbf {v}

如果选择r作为质量中心，则这些方程式简化为

\mathbf {p} =m\mathbf {v} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {R} \times \mathbf {v}

其中m是所有颗粒的总质量， p是线性动量，而L是角动量。

动量保护定律预测，对于不受外部力量的任何系统，系统的动量将保持恒定，这意味着质量中心将以恒定的速度移动。这适用于所有具有经典内力的系统，包括磁场，电场，化学反应等。更正式的是，对于任何根据牛顿的第三定律取消的内部力量，都是如此。

决心

对身体质量中心的实验确定是利用体内的重力力，是基于以下事实：质量中心与地球表面附近平行重力场中的重心相同。

具有对称性和恒定密度轴的身体的质量中心必须位于该轴上。因此，恒定密度的圆柱体的质量中心在圆柱体的轴上具有其质量中心。以同样的方式，恒定密度的球体对称体的质量中心位于球体的中心。通常，对于任何一个身体的对称性，其质量中心将是对称性的固定点。

在二维中

定位质量中心的实验方法是将物体从两个位置悬挂，并从悬架点掉下铅管线。这两条线的交点是质量中心。

对象的形状可能已经在数学上确定，但是它可能太复杂了，无法使用已知公式。在这种情况下，可以将复杂形状细分为更简单，更基本的形状，其质量中心很容易找到。如果可以确定每个区域的总质量和质量中心，则整体质量中心是中心的加权平均值。此方法甚至可以适用于带有孔的对象，可以将其解释为负质量。

可以使用称为积分或整数的平面的直接开发来确定不规则二维形状的质心或质量中心的位置。该方法可以应用于具有不规则，光滑或复杂边界的形状，而其他方法太难了。船舶制造商定期使用它与船舶的浮力所需的位移和中心进行比较，并确保不会倾斜。

在三个维度

定位质量中心的三维坐标的实验方法首先以三个点支撑对象，并测量抗物体重量的力f ₁ ， f ₂和f ₃ $\text{[math]}$ （（ $\text{[math]}$ 是垂直方向的单位矢量）。令r ₁ ， r ₂和r ₃为支撑点的位置坐标，然后质量中心的坐标满足结果扭矩为零的条件，

\mathbf {T} =(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{1}+(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{2}+(\mathbf {r} _{3}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{3}=0,

或者

\mathbf {R} \times \left(-W\mathbf {\hat {k}} \right)=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\mathbf {r} _{3}\times \mathbf {F} _{3}.

该方程得出水平面中质量r *中心的坐标

\mathbf {R} ^{*}=-{\frac {1}{W}}\mathbf {\hat {k}} \times (\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\mathbf {r} _{3}\times \mathbf {F} _{3}).

质量中心位于垂直线l ，由

\mathbf {L} (t)=\mathbf {R} ^{*}+t\mathbf {\hat {k}} .

质量中心的三维坐标是通过用定位的对象进行两次实验来确定的，以便通过对像对两个不同的水平平面测量这些力。质量中心将是从两个实验获得的两条线L ₁和L ₂的交点。

申请

工程设计

汽车应用

工程师试图设计跑车，以便降低其质量中心以使汽车的手柄更好，也就是说，在执行相对较锋利的转弯时保持牵引力。

美国军事悍马车的特征性低调部分是为了使其比较高的车辆倾斜更远，而不会滚动，从而确保其质量低的质量中心在距离水平远的四个车轮界面的空间上保持较低的空间。

航空

质量中心是飞机上的重要一点，这严重影响了飞机的稳定性。为了确保飞机足够稳定以安全起飞，质量中心必须落在指定的范围内。如果质量中心领先于前向极限，则飞机的操作将较低，可能是无法旋转起飞或降落的地步。如果质量中心位于后限制后面，则飞机将更具操纵性，但也不太稳定，可能不稳定，以至于无法飞行。电梯的矩臂也将减少，这使得从停滞状况中恢复更加困难。

对于悬停的直升机，质量中心始终位于转子头的下方。在向前飞行中，质量中心将向前移动，以平衡通过应用循环控制来推动直升机向前产生的负螺距扭矩。因此，一架巡航直升机在水平飞行中“降落”。

天文学

质量中心在天文学和天体物理学中起着重要作用，通常被称为barycenter 。重中心是两个对象之间相互平衡的点。它是质量的中心，那里两个或多个天体彼此绕。当月亮绕着行星或行星绕恒星旋转时，两个身体实际上都在绕着远离主要（较大）身体中心的点。例如，月亮不会绕地球的确切中心绕，而是在地球和月球中心之间的一条线上，在地球表面以下约1,710 km（1,062英里），它们各自的质量平衡。这是地球和月亮绕太阳旅行时的关键。如果群众更相似，例如，冥王星和夏隆，巴里中心将落在两个身体之外。

索具和安全

在索具时，知道重心的位置至关重要，如果假定错误地假设，可能会导致严重伤害或死亡。在升力点上方或以上的重心很可能会导致倾斜事件。通常，越远的重心在选拔点下方，升降机更安全。还有其他需要考虑的事情，例如移动负载，负载和质量的强度，选择点之间的距离以及选择点数。具体来说，选择升力点时，将重心放置在中心和升力点下方非常重要。

身体运动

在运动学和生物力学中，质量中心是一个重要参数，可帮助人们理解其人类运动。通常，使用两种方法之一检测到人类的质量中心：反应板方法是静态分析，涉及躺在该仪器上的人，并使用其静态平衡方程来找到其质量中心；分割方法依赖于基于物理原理的数学解决方案，即相对于指定的轴，单个身体截面的扭矩的总和必须等于相对于相同轴的整个系统的扭矩。

最佳化

重心方法是一种凸优化的方法，它使用可行区域的重心。