类别理论

类别理论是塞缪尔·埃伦伯格（Samuel Eilenberg）和桑德斯·麦克（Saunders Mac Lane）在20世纪中叶引入的数学结构及其关系的一般理论，这些理论是在代数拓扑的基础工作中引入的。类别理论几乎用于数学领域。特别是，从几种情况下出现的许多新数学对象的许多新数学对象的构造都方便地表达和统一。示例包括商空间，直接产品，完成和二元性。

计算机科学的许多领域也依赖类别理论，例如功能编程和语义。

类别由两种对象形成：类别的对象和形态学，它们将两个称为源的对象和形态的目标相关联。人们经常说，形态是将其来源映射到目标的箭头。如果第一态性的靶标等于第二个的来源，并且形态的组成具有与函数组成相似的特性（缔合性和身份形态的存在），则可以构成形态。形态通常是某种功能，但并非总是如此。例如，单型物体可能被视为具有单个对象的类别，其形态是单型元素的元素。

类别理论的第二个基本概念是函子的概念，它在两个类别之间扮演形态的作用，并以这种方式将其映射到源头上，并将其映射到源头，并映射到源头，并将其映射到形态学的对象和形态学上。目标映射到目标（或者，在违反函数的情况下，来源映射到目标，反之亦然）。第三个基本概念是一种自然转变，可以被视为函子的形态。

类别，对象和形态主义

类别

C类C包括以下三个数学实体：

ob（ c ）类，其元素称为对象；
一个级别的hom（c），其元素称为形态主义，地图或箭头。每个形态f都有一个源对象A和目标对象b。表达f：a→b，语言上会说为“ f是从a到b的形态”。或C（a，b） - 表示从a到b的所有形态的霍姆类。
二进制操作∘，称为形态的组成，因此对于任何三个对象A，B和C，我们都有

∘：HOM（ B ， C ）×HOM（ A ， B ）→HOM（ A ， C ）。

f ： a → b和g ： b → c的组成写为g f或gf ，由两个公理控制：

1.关联：如果F ： A → B ， G ： B → C和H ： C → D然后

h∘ （ g∘f ） = （ h∘g ） ∘f

2.身份：对于每个对象x，存在一个形态1 x：x→x（也称为idx）称为x的身份形态，以便

对于每个形态f ： a → b ，我们都有

1b∘f = f ₌ f ₌ f∘1a

从公理中可以证明，每个对像都有一个身份态度。

形态

通常使用交换图（例如fg = h ）之间的关系（例如Fg = H），其“点”（角）代表代表形态学的对象和“箭头”。

形态可以具有以下任何特性。态度f ： a → b是：

单态（或一元），如果_f∘g 1 = f∘g 2_意味着g ₁ = g ₂对于所有形态g ₁ ， g ₂ ： x → a 。
如果g ₁ f = g ₂ f = g ₁ = g ₂对于所有形态g ₁ ，g 1， g ₂ ： b → x表示g 1 = g 2。
双态如果F既是史诗又一元。
同构是否存在形态g ： b → a ，使得f∘g = 1 _b ， g∘f = 1 _a 。
内态如果a = b 。 end（ a ）表示a的内态类别。
如果F既是内态又是同构。自动（ a ）表示a的自动形态类别。
撤回如果存在f的右逆，则IE，如果存在形态g ： b → a ， _f∘g = 1 b 。
部分如果f的左f存在，则IE，如果存在形态g ： b → a ， g∘f = 1 _a 。

每个缩回都是表达，每个部分都是单态性。此外，以下三个陈述是等效的：

F是单态和缩回。
f是一种表达和部分；
F是同构。

函子

函子是类别之间具有结构的图。可以将它们视为所有（小）类别类别中的形态。

A（协变）函子f从类别C到D类，书面F ： C → D ，由：

对于C中的每个对象X ， d中的对象f （ x ）;和
对于每种形态f ： x → y ， c中的态度f （ f ）： f （ x ）→ f （ y ） in d ，

使以下两个属性拥有：

对于c中的每个对象x ， f （1 _x ）= 1 _{f （ x ）} ;
对于所有形态， f ： x → y和g ： y → z ， f （ g∘f ） = f （ g ） ∘f （ f ）。

违反函数f ： c → d就像一个协变量函子，只是它“扭转了态度”（“逆转所有箭头”）。更具体地说， C中的每个形态f ： x → y必须分配给d （ f ）： f （ y ）→ f （ x ） d 。换句话说，违反功能子是从相对类别的c ^op到d的协变量函子。

自然转变

自然转化是两个函子之间的关系。函子经常描述“自然结构”和自然变换，然后描述两个这样的结构之间的“自然同构”。有时两个完全不同的结构产生的“相同”结果；这是由两个函子之间的自然同构表示。

如果f和g是C和D类别之间的（协变）函子，则自然变换η从f到G soscosiates到c a morphismηx中的每个对象x _： f （ x ）→ g （ x ） d ，使得对于C中的每个形态f ： x → y ，我们都有_ηy _f （ f ）= g （ f ）∘ηx ;这意味着以下图是可交值的：

如果存在从f到g的自然转化，则两个函子F和G自然同构，使_ηx是c中每个对象x的同构。

其他概念

通用构造，极限和colimits

使用类别理论的语言，可以对数学研究的许多领域进行分类。类别包括集合，组和拓扑。

每个类别都由其所有对象具有共同的属性（例如空集或两个拓扑的乘积）所区分，但是在类别的定义中，对像被视为原子，即，我们不知道对象A是否为A集合，拓扑或任何其他抽象概念。因此，挑战是定义特殊对象，而无需参考这些对象的内部结构。为了定义空集而无需参考元素或产品拓扑而无需参考开放集，就可以根据这些对象与其他对象的关系来表征这些对象，如相应类别的态度所给出的那样。因此，任务是找到唯一确定感兴趣对象的通用属性。

如果可以开发和双重界限以产生colimit的概念，则可以以纯粹的分类方式描述许多重要的结构。

等效类别

这是一个自然的问题：在哪些条件下可以将两个类别视为基本相同，因为关于一个类别的定理可以轻松地转换为另一个类别的定理？一个人采用的主要工具来描述这种情况，称为类别的等效性，这是由两个类别之间的适当函子给出的。分类等效性发现了许多在数学中的应用。

进一步的概念和结果

类别和函子的定义仅提供分类代数的基础知识；下面列出了其他重要主题。尽管所有这些主题之间都有很强的相互关系，但可以将给定的顺序视为进一步阅读的指南。

函子类别D ^C作为对像从C到D的对象，并将其形态化为此类函数的自然变换。 Yoneda引理是类别理论最著名的基本结果之一。它描述了函子类别中的代表函子。
二元性：类别理论中的每个陈述，定理或定义都具有偶对偶，这基本上是通过“逆转所有箭头”来获得的。如果一个语句在C类中是正确的，则其对偶在双重类别C ^op中是正确的。这种双重性在类别理论的层面上是透明的，通常在应用中被遮盖，并可能导致令人惊讶的关系。
伴随函数：可以将函子留在另一个朝相反方向映射的函子的伴随。这样的一对伴随函子通常源于通用特性定义的构造。这可以看作是对通用属性的更抽象和强大的观点。

高维类别

以上许多概念，尤其是类别，伴随函子对和函子类别的等效性，都可以位于较高维度类别的背景下。简而言之，如果我们将两个对象之间的形态视为“将我们从一个对像到另一个对象的过程”，那么高维类别使我们能够通过考虑“高维过程”来盈利地概括这一点。

例如，（严格的） 2类是一个类别，以及“形态学之间的态度”，即使我们能够将一种词法转化为另一个类别。然后，我们可以水平和垂直地“构成”这些“双态”，我们需要二维“交换定律”才能保持两种组成定律。在这种情况下，标准的例子是猫，是所有（小）类别的两类，在此示例中，某些态度的双态性在通常的意义上只是形态的自然转变。另一个基本示例是考虑具有单个对象的2类。这些本质上是单体类别。生物学是二维类别的一个弱概念，在二维类别中，形态的组成不是严格的关联性，而是相关性“达到”同构。

该过程可以扩展到所有自然数n ，这些过程称为n类别。甚至还有与序数数 ω相对应的ω类别的概念。

高维类别是高维代数的更广泛数学领域的一部分，这是罗纳德·布朗（Ronald Brown）提出的概念。有关这些思想的对话介绍，请参见约翰·贝兹（John Baez），《 n类的故事》（1996年）。

历史记录

首先应该观察到，一个类别的整个概念本质上是辅助概念。我们的基本概念本质上是函子和自然转化的概念[...]

- Eilenberg和Mac Lane （1945）

尽管塞缪尔·埃伦伯格（Samuel Eilenberg ）和桑德斯·麦克（Saunders Mac Lane）在1942年的一篇关于群体理论的论文中给出了功能因素和自然变换的具体例子，但这些概念在更一般的意义上引入了这些概念，以及1945年的其他类别概念，在1945年的论文中。同一位作者（他们讨论了类别理论在代数拓扑领域的应用）。他们的工作是从直觉和几何同源性到同源代数，艾伦贝格和麦克巷的过渡的重要组成部分。

斯坦尼斯拉夫·乌拉姆（Stanislaw Ulam）以及一些代表他的写作声称，相关的想法在1930年代后期在波兰是最新的。艾伦贝格（Eilenberg）是波兰语，并在1930年代在波兰学习了数学。从某种意义上说，类别理论也是艾美奖（Mac Lane的一位老师）在形式化抽象过程中的工作的延续。 Noether意识到，了解一种数学结构需要了解保留该结构的过程（同构）。 Eilenberg和Mac Lane引入了将拓扑结构与代数结构（拓扑不变性）相关联的过程（函数）的类别（函数）。

类别理论最初是出于同源代数的需求而引入的，并为需要现代代数几何形状而广泛扩展（方案理论）。类别理论可以被视为通用代数的扩展，因为后者研究代数结构，前者适用于任何类型的数学结构和研究，也适用于不同性质的结构之间的关系。因此，它在整个数学过程中都被使用。稍后出现了用于数学逻辑和语义的应用程序（分类抽像机）。

某些称为Topoi （单数topos ）的类别甚至可以作为数学基础的公理设置理论的替代方法。 TOPOS也可以将其视为具有两个附加TOPOS公理的特定类型。这些类别理论的基本应用已详细研究，以作为建设性数学的基础和理由。 Topos理论是抽象的捆造理论的一种形式，具有几何起源，并导致诸如毫无意义的拓扑结构。

分类逻辑现在是一个基于直觉逻辑的类型理论定义明确的字段，其应用在功能编程和域理论中，其中笛卡尔封闭类别被视为对lambda cyculus的非句法描述。至少，类别理论语言阐明了这些相关领域的共同点（从某种意义上说）。

类别理论也已应用于其他领域。例如，约翰·贝兹（John Baez）显示了物理类别中的feynman图和单体类别之间的联系。类别理论的另一个应用，更具体地说：拓扑理论是在数学音乐理论中提出的，例如，参见瓜里诺·马佐拉（ Guerino Mazzola）的音乐，概念的几何逻辑，概念和表演的几何逻辑。

将本科生介绍为数学基础的最新努力包括William Lawvere和Rosebrugh（2003）以及Lawvere和Stephen Schanuel （1997）和Mirroslav Yotov（2012）。