笛卡尔坐标系

笛卡尔坐标平面的插图。标记了四个点并标有其坐标标记：（2，3）绿色，（-3，1）红色，（-1.5，-2.5）以蓝色为蓝色，紫色的原点（0，0）。

在几何形状中，平面中的笛卡尔坐标系（ UK ：， US ：）是一个坐标系，该系统由一对称为坐标的实数独特地指定每个点，这是从两个固定垂直方向的线，是签名的距离，该距离是签名的距离，称为系统的坐标线，坐标轴或系统的轴（轴复数）。他们遇到的点称为原点，并将 $（0，0）$ 作为坐标。

同样，可以通过三个笛卡尔坐标指定任何点在三维空间中的位置，这是从点到三个相互垂直平面的签名距离。更一般而言， $n$ 笛卡尔坐标为任何维度 $n$ 指定 $n$ 维欧几里得空间中的点。这些坐标是从点到 $N$ 相互垂直固定超平面的签名距离。

带有半径2的圆形坐标系统以红色标记的原点。圆的方程为（ x -a ） ² +（ y -b ） ² = r ² ，其中a和b是中心的坐标（ a ， b ）， r是半径。

笛卡尔坐标以雷内笛卡尔（RenéDescartes）的名字命名，他们在17世纪对它们的发明通过允许以代数和微积分来表达几何问题，从而彻底改变了数学。使用笛卡尔坐标系，可以通过涉及形状点坐标的方程来描述几何形状（例如曲线）。例如，以平面原点为中心的半径2圆可以描述为所有点的坐标 $x$ 和 $y$ 满足公式 $x 2 + y 2 = 4的点的$ 集合；可以通过使用积分和衍生物以可以应用于任何曲线的方式来从该方程中计算出任何点的区域，周长和切线线。

笛卡尔坐标是分析几何形状的基础，并为许多其他数学分支提供了启发性的几何解释，例如线性代数，复杂分析，差异几何，多变量计算，群体理论等。一个熟悉的示例是函数图的概念。笛卡尔坐标也是大多数应用学科的必不可少的工具，这些学科（包括天文学，物理，工程等）。它们是计算机图形，计算机辅助几何设计和其他与几何相关的数据处理中使用的最常见的坐标系。

历史

笛卡尔形容词是指法国数学家和哲学家雷内·笛卡尔（RenéDescartes），他于1637年在荷兰居住时发表了这一想法。这是由皮埃尔·德·费马特（Pierre de Fermat）独立发现的，他也在三个维度上工作，尽管费玛特没有发布这一发现。法国牧师妮可（Nicole）矿石在笛卡尔和费马特（Descartes and Fermat）之前使用了类似于笛卡尔坐标的结构。

Descartes和Fermat都在其处理中使用了单个轴，并且参考该轴的长度可变。在Descartes的LaGéométrie于1649年由Frans Van Schooten和他的学生将拉丁语翻译成拉丁文之后，稍后提出了使用一对轴的概念。这些评论员在试图澄清笛卡尔作品中包含的想法的同时介绍了几个概念。

笛卡尔坐标系统的发展将在艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼兹的微积分发展中发挥基本作用。随后将平面的两坐标描述推广到向量空间的概念中。

自从笛卡尔（例如平面的极性坐标）以及三维空间的球形和圆柱坐标以来，已经开发了许多其他坐标系。

描述

一个维度

为一维空间选择笛卡尔坐标系（即直线），volves选择了线路O （原点），长度单位和线路的方向。方向选择由O确定的两个半线中的哪一个是正，哪些是负的。然后，我们说，从负半向正半向“定向”（或“点”）。然后，可以通过距O距离的距离来指定线的每个点P ，该距离用A +或 - 符号取，具体取决于半线包含p 。

带有选定的笛卡尔系统的线称为数字行。该笛卡尔系统的选择会引起线条和实际数字之间的培养。

二维

在二维（也称为矩形坐标系或正交坐标系）中的笛卡尔坐标系由有序的垂直线（轴），两个轴的单个单位和每个轴的方向定义。将轴相交的点作为两者的起源，从而将每个轴变成数字线。对于任何点p ，通过垂直于每个轴的P绘制一条线，符合轴的位置被解释为数字。这两个数字按照所选顺序是p的笛卡尔坐标。反向构造允许一个给定坐标的点P。

第一和第二坐标分别称为横坐标和p的纵坐标。轴相交的点称为坐标系的原点。这些坐标通常以括号中的两个数字写成，按照（3，-10.5）与逗号分开。因此，原点具有坐标（0，0），正面半轴上的点远离原点，有坐标（1，0）和（0，1）。

在数学，物理和工程学中，第一个轴通常定义或描述为水平且定向向右定义，第二轴是垂直且方向向上的。（但是，在某些计算机图形上下文中，纵轴可能向下定向。）原点通常被标记为o ，并且两个坐标通常用字母x和y或x和y表示。然后可以将轴称为x轴和y轴。字母的选择来自原始惯例，即使用字母的后半部分表示未知值。字母的第一部分用于指定已知值。

具有选择的笛卡尔坐标系的欧几里得平面称为笛卡尔飞机。在笛卡尔平面中，一个人可以定义某些几何图形的规范代表，例如单位圆（半径等于长度单位，而在原点处），单位正方形（其对角线的端点在（0，0，0）中（1，1）），单位双曲线等。

两个轴将平面分为四个直角，称为象限。象限可以以各种方式命名或编号，但是所有坐标为正的象限通常称为第一个像限。

如果一个点的坐标为（ x ， y ），则其距离x轴和y轴的距离为| y |和| x |分别；哪里| ·|表示数字的绝对值。

三个维度

三维空间的笛卡尔坐标系由有序的线（轴）组成，该线路（轴）穿过一个公共点（原点），并且是垂直的；每个轴的方向；以及所有三个轴的长度单位。与二维情况一样，每个轴成为数字线。对于空间的任何点P ，人们都会考虑一个垂直于每个坐标轴的P的超平面，并解释该超平面将轴切割为数字的点。 P的笛卡尔坐标是所选顺序的这三个数字。反向构造决定了p的三个坐标。

或者，一个点P的每个坐标可以作为从P到由其他两个轴定义的超平面的距离，并通过相应轴的方向确定符号。

每对轴定义一个坐标超平面。这些超平面将空间划分为八个八分之一。八分之一是：

{\begin{aligned}(+x,+y,+z)&&(-x,+y,+z)&&(+x,-y,+z)&&(+x,+y,-z)\\(+x,-y,-z)&&(-x,+y,-z)&&(-x,-y,+z)&&(-x,-y,-z)\end{aligned}}

坐标通常以括号包围并用逗号隔开的三个数字（或代数公式）写成，如 $（3，-2.5，1）$ 或 $（ t ， u + v ， π /2）$ 。因此，原点具有坐标 $（0，0，0）$ ，并且三个轴上的单位点为 $（1，0，0）$ ， $（0，1，0）$ 和 $（0，0，1）$ 。

三个轴中没有坐标的标准名称（但是，有时会使用Abscissa ，纵坐标和应用术语）。坐标通常用字母x ， y和z或x ， y和z表示。然后，轴可分别称为x轴， y轴和z轴。然后，坐标超平面可以称为XY平面， Yz平面和XZ平面。

在数学，物理和工程环境中，前两个轴通常被定义或描述为水平，第三轴指向。在这种情况下，第三个坐标可以称为高度或高度。通常选择方向，以便从第一轴到第二轴的90度角在从点 $（0、0、1）$ 中逆时针时看起来。通常称为右手规则的惯例。

较高的尺寸

由于笛卡尔坐标是独特的且不明显的，因此可以用成对的实数来识别笛卡尔平面的点。也就是说，使用笛卡尔产品，所有实际数字的集合在哪里。以同样的方式，用n个实数的元素（列表）识别尺寸n的任何欧几里得空间中的点；也就是说，使用笛卡尔产品。

概括

笛卡尔坐标的概念概括以允许沿每个轴沿彼此垂直的轴和/或不同单位。在这种情况下，每个坐标是通过将点投射到一个轴上的一个方向（通常与所有其他轴定义的超平面）的方向获得的。在这样的倾斜坐标系中，必须从标准的笛卡尔系统中修改距离和角度的计算，并且许多标准公式（例如距离距离的毕达哥拉斯公式）不保持（请参阅仿射平面）。

符号和惯例

一个点的笛卡尔坐标通常用括号写成，并用逗号分隔，如（10，5）或（3，5，7）。原点通常用大写字母o标记。在分析几何形状中，未知或通用坐标通常用平面中的字母（ x ， y ）表示，而（ x ， y ， z ）在三维空间中表示。该习惯来自代数的约定，该惯例使用字母末端的字母来实现未知值（例如许多几何问题中的点的坐标），以及在给定数量的开始附近的字母。

尽管可以使用其他字母，但这些常规名称通常在其他领域（例如物理和工程）中使用。例如，在图表显示压力如何随时间变化的图中，图表坐标可以表示为p和t 。每个轴通常以沿其测量的坐标命名；所以有人说X轴， Y轴， T轴等。

坐标命名的另一个常见惯例是使用下标，为（ x ₁ ， x ₂ ，...， x _n ）作为n维空间中的n坐标，尤其是当n大于3或未指定时。一些作者更喜欢编号（ x ₀ ， x ₁ ，...， x _{n -1} ）。这些符号在计算机编程中尤其有利：通过将点的坐标存储为数组，而不是记录，下标可以用来索引坐标。

在二维笛卡尔系统的数学插图中，第一个坐标（传统上称为横坐标）是沿着从左到右定向的水平轴测量的。然后沿垂直轴测量第二个坐标（纵坐标），通常从底部到顶部定向。幼儿学习笛卡尔系统，通常会通过从2D Mnemonics开始巩固X- ， Y-和Z轴概念之前阅读价值的顺序（例如，'沿着大厅走，然后沿着楼梯上楼梯'akin直接穿过X轴，然后沿Y轴垂直向上沿垂直向上）。

但是，计算机图形和图像处理经常使用与计算机显示器下向下y轴向的坐标系。该惯例是从1960年代（或更早）开发的，它最初存储在显示缓冲区中的方式。

对于三维系统，一个惯例是水平描绘XY平面，添加Z轴表示高度（正高）。此外，还有一个约定可以将X轴定向到观看者，向右侧或左侧偏置。如果图（ 3D投影或2D透视图）分别在水平和垂直上显示X - 和Y轴，则应显示Z轴指向观看者或相机的“删除页面”。在这样的3D坐标系的2D图中，根据假定的查看器或摄像机的透视图， z轴将以指向向左或向右的线或射线显示。在任何图表或显示中，整个轴的方向是任意的。但是，除非另有明确说明，否则轴相对于彼此相对的方向应始终符合右手规则。所有物理和数学定律都承担着这种右手，这确保了一致性。

对于3D图，名称“ Abscissa”和“纵坐标”很少用于X和Y。当它们为时， Z坐标有时称为应用程序。横坐标，纵坐标和应用单词有时用于参考坐标轴而不是坐标值。

象限和八分之一

二维笛卡尔系统的轴将平面分为四个无限区域，称为象限，每个区域都由两个半轴界定。这些通常是从第1到4编号，并用罗马数字表示：i（坐标都有正符号），ii（横坐标为负- 为负- ，纵坐标为正+），iii（其中腹部和小子均均为a为 - ）和iv（Abscissa +，纵坐标 - ）。当根据数学习惯绘制轴时，编号从右上角（“东北”）象限开始逆时针。

同样，根据点的坐标符号，三维笛卡尔系统将空间分为八个区域或八分之一。用于命名特定八分之一的惯例是列出其标志；例如（ + + +）或（ - + - ）。象限和八分位的概括是矫正数，并且适用了类似的命名系统。

飞机的笛卡尔公式

两点之间的距离

平面两个点之间的欧几里得距离，带有笛卡尔坐标，IS

d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.

这是笛卡尔定理的笛卡尔版。在三维空间中，点和IS之间的距离

d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},

可以通过毕达哥拉斯定理的两个连续应用获得。

欧几里得转型

欧几里得转化或欧几里得动作是欧几里得平面的（射击）映射到其自身的点，这些映射是在点之间保留距离之间的距离。这些映射有四种类型（也称为异构体）：翻译，旋转，反射和滑行反射。

翻译

将平面的一组点转换，保留它们之间的距离和方向，等同于在集合中每个点的笛卡尔坐标中添加固定的数字（ a ， b ）。也就是说，如果一个点的原始坐标为（ x ， y ），则在翻译之后它们将是

(x',y')=(x+a,y+b).

回转

要逆时针旋转围绕原点旋转一定角度，等于用坐标（x，y）用坐标（x'，y'）替换每个点，其中

{\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}

因此：

(x',y')=((x\cos \theta -y\sin \theta \,),(x\sin \theta +y\cos \theta \,)).

反射

如果（x，y）是一个点的笛卡尔坐标，则（-x，y）是其在第二个坐标轴（y轴）上反射的坐标，就好像那条线是镜子一样。同样，（x，-y）是其在第一个坐标轴（x轴）上反射的坐标。在更一般性的情况下，通过线来形成X轴的角度的反射等同于用坐标（x，y）用坐标（x'，y'）代替每个点，其中

{\begin{aligned}x'&=x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \\y'&=x\sin 2\theta -y\cos 2\theta .\end{aligned}}

因此：

(x',y')=((x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \,),(x\sin 2\theta -y\cos 2\theta \,)).

滑行反射

滑行反射是跨线的反射的组成，然后在该线方向上翻译。可以看出，这些操作的顺序并不重要（翻译可以首先出现，然后进行反思）。

转换的一般矩阵形式

平面的所有仿射转化都可以通过使用矩阵以统一的方式描述。为此，一个点的坐标通常表示为列矩阵，将仿射转换应用于一个点的结果由公式给出

{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+b,

在哪里

A={\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{1,2}\\A_{2,1}&A_{2,2}\end{pmatrix}}

是2×2矩阵，是列矩阵。那是，

{\begin{aligned}x'&=xA_{1,1}+yA_{1,1}+b_{1}\\y'&=xA_{2,1}+yA_{2,2}+b_{2}.\end{aligned}}

在仿射转化中，欧几里得转化的特征是基质是正交的。也就是说，它的列是欧几里得规范的正交向量，或者是明确的

A_{1,1}A_{1,2}+A_{2,1}A_{2,2}=0

和

A_{1,1}^{2}+A_{2,1}^{2}=A_{1,2}^{2}+A_{2,2}^{2}=1.

这相当于说其 $转$ 置是身份矩阵。如果这些条件不满足，则该公式描述了更一般的仿射转化。

当且仅当 $a$ 是身份矩阵时，转换是转换。当且仅当 $A$ 是旋转矩阵时，转换是围绕某个点的旋转，这意味着它是正交的，并且

A_{1,1}A_{2,2}-A_{2,1}A_{1,2}=1.

当在

A_{1,1}A_{2,2}-A_{2,1}A_{1,2}=-1.

假设不使用翻译（即）转换可以通过简单地乘以关联的转换矩阵来组成。在一般情况下，使用转换的增强矩阵很有用。也就是说，要重写转换公式

{\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}=A'{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}},

在哪里

A'={\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{1,2}&b_{1}\\A_{2,1}&A_{2,2}&b_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}.

有了这个技巧，通过繁殖增强矩阵来获得仿射转化的组成。

仿射转化

欧几里得平面的仿射变换是将线映射到线路的转换，但可能会改变距离和角度。如前节所述，它们可以用增强矩阵表示：

{\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{2,1}&b_{1}\\A_{1,2}&A_{2,2}&b_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}.

欧几里得转化是仿射变换，使得IS正交的2×2矩阵。

代表两个仿射转化组成的增强矩阵是通过繁殖其增强矩阵获得的。

一些不是欧几里得转换的仿射转换已收到了特定的名称。

缩放

通过缩放给出了非欧几里得的仿射转化的示例。要使图形更大或较小，相当于将每个点的笛卡尔坐标乘以相同的正数m 。如果（ x ， y ）是原始图上点的坐标，则缩放图上的相应点具有坐标

(x',y')=(mx,my).

如果m大于1，则图将变大；如果m在0到1之间，则变小。

剪切

剪切转换将推动正方形的顶部侧向形成平行四边形。水平剪切由：

(x',y')=(x+ys,y)

剪切也可以垂直应用：

(x',y')=(x,xs+y)

方向和交接

在二维中

固定或选择X轴确定Y轴直至方向。也就是说， y轴必然是垂直于x轴的垂直于x轴上标记为0的点。但是，可以选择垂直于垂直的两条线中的哪一条，以指定为正和哪个为负。这两个选择中的每一个都决定了笛卡尔平面的不同方向（也称为惯用性）。

平面的通常方式，正向x轴指向右侧，正y轴指向（ x轴为“第一”， y轴是“第二”轴），被认为是正或标准方向，也称为右手方向。

定义正取向的常用助记符是右手规则。用拇指指向的右手将右手放在平面上，手指从x轴指向y轴，在正向的坐标系中。

定向飞机的另一种方式是遵循左侧规则，将左手放在飞机上，拇指指向。

当将拇指沿轴沿轴向正的原点指向正时，手指的曲率表示沿该轴的正旋转。

无论用于定向平面的规则如何，旋转坐标系都将保留方向。切换任何一个轴都会逆转方向，但是切换两者都会使方向保持不变。

在三个维度

一旦指定了x-和y轴，它们就会确定Z轴应存在的线，但对于此行有两个可能的方向。结果两个可能的坐标系统称为“右手”和“左手”。标准方向，其中xy平面是水平的， z轴指向（ x-和y轴形成XY平面中XY平面的正相向的二维坐标系，如果从XY平面上方观察到）称为右撇子或积极。

该名称源自右手规则。如果向前指向右手的食指，则中指以与其直角向内弯曲，并且拇指与两者的角度成直角，三个手指表示x- ，y-，y - ，y - ，y-， y - ，和右撇子系统中的z轴。拇指指示x轴，食指y轴，中指和z轴。相反，如果用左手完成左手系统的结果。

图7描绘了左侧和右手坐标系。因为在二维屏幕上表示三维对象，所以失真和歧义结果。指向向下（右侧）的轴也指向观察者，而“中间”轴旨在远离观察者。红色圆圈平行于水平XY平面，表示从X轴到Y轴的旋转（在两种情况下）。因此，红色箭头在Z轴的前面通过。

图8是描绘右撇子坐标系的另一种尝试。同样，通过将三维坐标系投射到平面上引起的歧义。许多观察者将图8视为“凸出立方体”和“凹角”之间的“进出”。这对应于空间的两个可能的方向。将图视为凸面提供了一个左手坐标系。因此，查看图8的“正确”方法是想像X轴指向观察者，从而看到一个凹角。

以标准为基础代表向量

笛卡尔坐标系中的空间点也可以由位置向量表示，该位置向量可以将其视为指向从坐标系的原点到点的箭头。如果坐标代表空间位置（位移），则通常表示从原点到感兴趣点的向量。在两个维度中，从原点到笛卡尔坐标（x，y）的向量可以写为：

\mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} ,

在X轴和Y轴方向的位置和单位向量，通常称为标准基础（在某些应用领域，这些也可能称为vermane）。同样，在三个维度中，从原点到笛卡尔坐标点的向量可以写为：

\mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} ,

在哪里和

没有自然解释乘数向量来获得在各个维度上起作用的另一个向量，但是有一种使用复数的方法来提供这种乘法。在二维笛卡尔平面中，用坐标（ x ， y ）识别具有复杂数z = x + iy的坐标点。在这里，我是虚构的单元，并与坐标（0，1）的点确定，因此不是X轴方向的单位向量。由于可以将复数数字乘以另一个复杂数字，因此该标识提供了一种“乘法”向量的方法。在三维笛卡尔空间中，可以使用四季度的子集进行类似的识别。