粘结持续时间
在金融中,由固定现金流量(例如债券)组成的金融资产的持续时间是收到这些固定现金流动的时间的加权平均时间。当将资产的价格视为收益率的函数时,持续时间还可以衡量收益率的价格敏感性,价格变动率相对于收益率或平行转移收益率的价格变化百分比。
“持续时间”一词的双重用途是加权的平均时间,直到还款的平均时间和价格变化,通常会引起混乱。严格来说, Macaulay持续时间是加权平均时间的名称,直到收到现金流量并以年为单位进行衡量。修改持续时间是给价格灵敏度的名称。 (-1)债券价格的变化率是其产量变化的函数。
这两种措施都被称为“持续时间”,并且具有相同的数值(或接近相同的)数值,但是请牢记它们之间的概念区分很重要。 Macaulay持续时间是多年单位的时间量度,仅对具有固定现金流量的乐器才有意义。对于标准键,链球条的持续时间将在0到键的成熟度之间。且仅当键是零息键时,它等于成熟度。
另一方面,修改后的持续时间是价格的数学导数(变化率),并衡量价格变化率相对于产量的百分比。 (相对于收益率的价格敏感性也可以以绝对(美元或欧元等)为单词来衡量,并且绝对灵敏度通常称为美元(欧元)持续时间,DV01,BPV或Delta(δ或δ)风险)。修改持续时间的概念可以应用于具有非固定现金流量的利率敏感仪器,因此可以将其应用于更广泛的仪器范围,而不是Macaulay持续时间。在现代金融中,修改持续时间比Macaulay持续时间更频繁。
对于日常使用,Macaulay和修改持续时间的值的平等性(或接近平等)可能是直觉的有用帮助。例如,标准的十年优惠券债券的峰值持续时间将有些略有少于10年,因此,我们可以推断出修改的持续时间(价格敏感性)也将有些但不小于10% 。同样,为期两年的优惠券债券的峰值持续时间略低于2年,而修改持续时间略低于2%。
Macaulay持续时间
引入概念的弗雷德里克·麦考雷(Frederick Macaulay)命名的Macaulay持续时间是现金流量的加权平均成熟度,其中每次付款的收到的时间都由该付款的现值加权。分母是权重的总和,这正是债券的价格。考虑一些固定现金流。这些现金流的现值是:
Macaulay持续时间定义为:
- (1)
在哪里:
在第二个表达式中,分数项是现金流的比率到总PV。这些术语增加到1.0,并作为加权平均值的权重。因此,总体表达是平均加权时间,直到现金流量支付为止是由于现金流而成为资产现值的比例 。
对于一组全阳性固定现金流动,加权平均值将落在0(最小时间)之间,或更准确地说 (首次付款的时间)和最终现金流的时间。当且仅当只有到期仅一次付款时,Macaulay持续时间才能等于最终成熟度。在符号中,如果现金流量为 , 然后:
除非有单个现金流,否则不平等是严格的。就标准债券而言(现金流量固定且阳性),这意味着仅对零息债券的债券成熟度等于债券成熟度。
Macaulay持续时间具有图1所示的图解解释。
这代表了以下示例中讨论的债券 - 两年的成熟度为20%的息票,连续复合收益率为3.9605%。这些圈子代表了付款的现值,息票的付款将来越来越小,最终的大笔付款包括优惠券付款和最终本金还款。如果将这些圆圈放在平衡梁上,则梁的支点(平衡中心)将代表加权平均距离(付款时间),在这种情况下为1。78年。
对于大多数实用的计算,Macaulay持续时间是使用成熟度的收益率计算的 :
- (2)
- (3)
在哪里:
- 索引现金流,
- 是现值资产的现金付款,
- 是现金流从资产付款,
- 是资产的成熟度(连续复合)的产量,
- 是几年来的时间将收到付款,
- 是从资产到到期的所有现金支付的现值。
Macaulay提供了两种替代措施:
- 表达式(1)是Fisher – Weil持续时间,该持续时间使用零 - 配电债券价格作为折现因素,并且
- 表达式(3)将债券的收益率达到成熟度来计算折现因子。
两个持续时间之间的关键区别在于,渔民 - 韦尔持续时间允许倾斜的产量曲线,而第二形式是基于收益率的恒定值 ,不按期限付款。使用计算机的使用,可以计算两种形式,但是表达式(3)假设恒定产率,由于应用了修改持续时间,因此更广泛地使用了表达式。
持续时间与加权平均寿命
Macaulay持续时间与加权平均寿命的值和定义的相似性和定义都可能导致两者的目的和计算混淆。例如,仅5年固定利率利息债券的加权平均寿命为5,而麦考雷的持续时间应该非常接近。抵押的行为类似。两者之间的差异如下:
- Macaulay持续时间仅测量固定的现金流量,无论是固定还是浮动,所有主要现金流的加权平均寿命因素。因此,对于固定期混合臂抵押贷款,出于建模目的,整个固定期限在最后一次固定付款之日或重置之前的一个月结束。
- Macaulay持续时间以相应的资本成本折扣所有现金流量。加权平均寿命不会打折。
- 加权现金流量时,Macaulay持续时间同时使用本金和兴趣。加权平均寿命仅使用本金。
修改时间
与Macaulay持续时间相反,修改后的持续时间(有时缩写为MD)是价格敏感性度量,定义为相对于产量的价格的百分比(债券价格的对数衍生品相对于收益的对数)。当将债券或其他资产视为产量的函数时,修改时间适用。在这种情况下,人们可以根据产量来测量对数衍生物:
当产量连续地表达复合时,麦考雷的持续时间和修改持续时间在数值上相等。为了看到这一点,如果我们采用价格或现值的衍生品,即表达(2),相对于连续复合的收益我们看到了:
换句话说,对于不断表达的收益率,
- .
在哪里:
- 索引现金流,
- 是几年来的时间将收到付款,
- 是资产所有现金支付的现值。
定期复合
在金融市场中,通常会定期表达收益率(例如每年或半年)而不是连续复合。然后表达式(2)变为:
要找到修改的持续时间,当我们采用该值的导数时关于定期复合的产量,我们发现
重新安排(将两侧除以-v )给出:
这是修改持续时间和毛ul的持续时间之间的众所周知的关系:
在哪里:
- 索引现金流,
- 是每年复合频率(年度为1,半年度为2,每月12,每周52等),
- 是现金流从资产付款,
- 是几年来的时间将收到付款(例如,为期两年的半年度将由索引为0.5、1.0、1.5和2.0),
- 是资产成熟的产量,周期性复合
- 是资产所有现金支付的现值。
这给出了上面引用的Macaulay持续时间与修改持续时间之间的众所周知的关系。应该记住的是,即使Macaulay持续时间和修改持续时间密切相关,它们在概念上也是如此。 Macaulay持续时间是加权的平均时间,直到还款(以时间为单位(如年)测量),而修改持续时间是价格敏感性度量,当价格被视为收益率的函数,价格的百分比变化相对于收益。
单位
Macaulay持续时间是在几年内测量的。
修改持续时间的衡量为每年一个单位的价格变化百分比(百分点)每年的收益变化(例如,收益率从每年8%(y = 0.08)到每年9%(y = 0.09))。这将使经过修改的持续时间接近Macaulay持续时间(当速率连续复合时等于)。
正式地,修改的持续时间是一种半弹性,单位单位变化而不是弹性的价格变化百分比,这是输入百分比变化的产出百分比变化。修改持续时间是变化率,每次变更的价格变化百分比。
非固定现金流量
修改后的持续时间可以扩展到具有非固定现金流量的工具,而Macaulay持续时间仅适用于固定现金流量工具。修改后的持续时间定义为价格的对数导数,而该定义将适用于取决于收益率的工具,无论现金流量是否固定。
有限的产量变化
修改后的持续时间在上面定义为衍生物(该术语与微积分有关),因此基于无穷小的变化。修改的持续时间也很有用,可作为衡量债券市场价格对有限利率(即产量)运动的敏感性的衡量。为了改变产量, ,,,,
因此,修改的持续时间大约等于给定有限变化的产量的价格变化百分比。因此,15年的债券(链球菌持续时间为7年)的持续时间为7年,约为7年,如果利率增加一个百分点(例如7%到8%),则价值将下降约7%。
费舍尔 - 韦尔持续时间
Fisher – Weil持续时间是Macaulay持续时间的完善,该持续时间考虑了利率的期限结构。 Fisher – Weil持续时间通过使用每个相应的成熟度使用零息票收益率来计算相关现金流的当前值。
关键费率持续时间
关键费率持续时间(也称为部分DV01或部分持续时间)是总修改持续时间的自然延伸,以衡量对屈服曲线不同部分的偏移的敏感性。例如,可以定义关键持续时间,例如,对于成熟度的零息率,“ 1M”,“ 3M”,“ 6M”,“ 1Y”,“ 2Y”,“ 2Y”,“ 3Y”,“ 3Y”, “ 5Y”,“ 7Y”,'7y' ,'10y','15y','20y','25y','30y'。 Thomas Ho (1992)引入了术语关键率持续时间。 Reitano早在1991年就涵盖了多因素收益曲线模型,并在最近的一份评论中重新审视了该主题。
关键费率持续时间要求我们从屈服曲线上估算仪器,并需要构建收益曲线。 HO的原始方法是基于对零或点产量曲线的估值,并使用“关键速率”之间的线性插值,但该想法适用于基于远期速率,PAR速率等等的曲线。由于关键率持续时间依赖于用于重视工具的特定类型的特定类型,因此在标准总修改持续时间内未出现的关键率持续时间(部分DV01)出现了许多技术问题(请参阅Coleman,2011年) 。
邦德公式
对于具有固定的半年度付款的标准债券,债券持续时间封闭式公式为:
- FV = PAR值
- C =每个期间的优惠券付款(半年)
- I =每期折现率(半年)
- a =剩余时间的一部分,直到下一个优惠券付款
- M =完整的优惠券时期直到到期
- p =债券价格(现金流量的现值I折扣I )
与优惠券频率的债券但是整数数量的期限(因此没有分数付款期),该公式简化为:
在哪里
- y =产量(每年,百分比),
- C =优惠券(每年,小数形式),
- M =优惠券期数。
示例1
考虑为2年的债券,面值为100美元,半年度优惠券,产量为4%半上一式复合。总的光伏将是:
那时的麦考雷持续时间
- .
上面的简单公式给出(y/k = .04/2 = .02,c/k = 20/2 = 10):
修改后的持续时间是每一个百分比的收益率变化的价格变化百分比,是:
- (每1个百分点收益点变化的价格变化%)
DV01,以100美元的名义债券的价格变动,以衡量的价格变化为100美元
- (每1个百分点的收益率变化$)
划分100的地方是因为修改持续时间是百分比变化。
示例2
考虑具有$ 1000面值,5%息票利率和6.5%的年收益率的债券,5年内到期。计算持续时间的步骤如下:
1.估计优惠券的债券价值在1、2、3和4年为50美元。然后,在第5年,债券将支付优惠券和本金,总计1050美元。债券价值为6.5%的现值折现为$ 937.66。细节如下:
1年:$ 50 /(1 + 6.5%) ^ 1 = 46.95
2年:$ 50 /(1 + 6.5%) ^ 2 = 44.08
3年:$ 50 /(1 + 6.5%) ^ 3 = 41.39
4年:$ 50 /(1 + 6.5%) ^ 4 = 38.87
5年:$ 1050 /(1 + 6.5%) ^ 5 = 766.37
2.乘以每个现金流量的时间,乘以其现值
1:1 * $ 46.95 = 46.95
第二年:2 * $ 44.08 = 88.17
3:3 * $ 41.39 = 124.18
4:4 * $ 38.87 = 155.46
5:5 * * 766.37 = 3831.87
总计:4246.63
3.将步骤2的总数与债券值进行比较(步骤1)
MacAulay持续时间:4246.63 / 937.66 = 4.53
货币持续时间
这货币持续时间,或基点价值或彭博风险,也称为美元持续时间或美国的DV01被定义为对产量的价值的衍生物负面的。
因此,它是修改持续时间和价格(值)的产物:
- (每1个百分点的收益率变化$)
或者
- (每1美元的收益率更改)
DV01在衍生定价中类似于三角洲( “希腊人”之一) - 它是输出价格变化(美元)与输入单位变化的比率(基本收益点)。美元持续时间或DV01是美元价格的变化,而不是百分比。它给出了美元债券价值每单位变化的美元变化。通常每1个基点测量-DV01的“美元价值为01”(或1个基点)。还使用了名称BPV(基本点值)或彭博社“风险”,通常将100美元的概念命名为100bp的收益率变化,用于100美元的概念 - 提供与持续时间相同的单位。有时会使用Pv01(01的现值),尽管PV01更准确地指出一美元或一个基点年金的值。 (对于DV01的PAR键和平坦的收益曲线,价格WRT收益率的导数和PV01的价值,一美元年金的价值实际上将具有相同的值。)DV01或美元持续时间可用于零件的仪器- 前价值,例如利率互换,而百分比变化和修改持续时间的用途不太有用。
应用于价值风险(VAR)
美元持续时间通常用于价值(VAR)计算。为了说明投资组合风险管理的申请,请考虑依赖利率的证券投资组合作为风险因素,让
表示这种投资组合的价值。然后曝光向量有组件
因此,投资组合的价值变化可以近似为
也就是说,在利率上有线性的组件会更改加上至少二次的误差项。该公式可用于通过忽略高阶项来计算投资组合的VAR。通常将立方或更高的术语截断。二次术语(包括在内)可以用(多变量)债券凸度表示。人们可以对利率的联合分布进行假设,然后通过蒙特卡洛模拟计算VAR,或者在某些特殊情况下(例如,假定线性近似值的高斯分布),甚至可以通过分析。该公式还可以用于计算投资组合的DV01(参见下),可以将其推广以包括超出利率的风险因素。
风险 - 持续时间作为利率灵敏度
持续时间(修改持续时间)的主要用途是衡量利率灵敏度或暴露。在利率或收益率方面考虑风险非常有用,因为它有助于在其他不同的工具中正常化。例如,考虑以下四种仪器,每种工具具有10年的最终成熟度:
描述 | 优惠券(每年$) | 初始价格(每100美元的名义) | 最终主要付款 | 屈服 | Macaulay持续时间(年) | 修改持续时间(每100bp yld ch) | BPV或DV01(每100bp yld ch) |
---|---|---|---|---|---|---|---|
5%半年度优惠券债券 | $5 | $100 | $100 | 5% | 7.99yrs | 7.79% | $7.79 |
5%半年年金 | $5 | $38.9729 | $0 | 5% | 4.84元 | 4.72% | $1.84 |
零息键 | $0 | $61.0271 | $100 | 5% | 10年 | 9.76% | $5.95 |
5%固定浮动掉期,接收固定 | $5 | $0 | $0 | 5% | na | na | $7.79 |
这四个人的成熟度都有10年的成熟度,但是对利率和风险的敏感性将有所不同:零企业的灵敏度最高,年金最低。
首先考虑每笔100美元的投资,这对于三个债券(优惠券债券,年金,零企业债券债券)是有意义的 - 对于没有初始投资的利率互换来说,这是没有意义的。修改持续时间是比较三个利率灵敏度的有用度量。零息键的灵敏度最高,每100bp的收率变化率为9.76%。这意味着,如果收益率从5%上升到5.01%(上涨1bp),价格应下跌约0.0976%,或价格的变化从$ 61.0271的价格从$ 100 $ 100的概念提高到大约60.968美元。最初的100美元投资将降至约99.90美元。年金具有最低的灵敏度,大约是零联合键的一半,而修改的持续时间为4.72%。
另外,我们可以考虑每种仪器的100美元名义。在这种情况下,BPV或DV01(美元价值为01或美元持续时间)是更自然的措施。桌子上的BPV是100美元名义的价格变化100 bp的收益率。 BPV对于利率互换(未定义修改持续时间)以及三个债券将是有意义的。
修改的持续时间测量利率灵敏度的大小。有时,我们可能会被误导以为它可以测量仪器对仪器敏感的部分曲线的哪一部分。毕竟,修改后的持续时间(价格%变化)几乎与Macaulay持续时间(一种加权平均成熟年度)的数字几乎相同。例如,上面的年金持续时间为4。8年,我们可能会认为它对5年的收率很敏感。但是它的现金流量至10年,因此对10年的收益率敏感。如果我们想测量对收益曲线部分的敏感性,则需要考虑关键率持续时间。
对于具有固定现金流量的债券,价格变动可能来自两个来源:
- 时间的通过(汇合)。当然,这是完全可以预见的,因此没有风险。
- 产量的变化。这可能是由于基准产量的变化和/或收益率扩散的变化。
产量价格的关系是反相反的,修改后的持续时间提供了对收益率的价格敏感性的非常有用的度量。作为第一个导数,它提供了线性近似。对于较大的产量变化,可以添加凸度以提供二次或二阶近似。或者,通常更有用地可以使用凸度来测量修改的持续时间如何随着产量的变化而变化。期权市场中使用的类似风险措施(第一阶和二阶)是三角洲和伽玛。
修改后的持续时间和DV01作为利率敏感性度量也很有用,因为它们可以应用于具有变化或随意现金流量(例如期权)的工具和证券。
嵌入式选项和有效持续时间
对于具有嵌入式选项的债券(例如可提取的债券),修改后的持续时间将无法正确近似于将收益率变为到期的价格移动。
考虑具有嵌入式看法选项的债券。例如,持有人可以在债券成熟之前的任何时候赎回的1,000美元债券(即美国看位期权)。无论利率多高,债券的价格将永远不会低于1,000美元(无视对手风险)。该债券对利率变化的价格敏感性不同于具有相同现金流量的不可用债券。
为了定价这种债券,必须使用期权定价来确定债券的价值,然后可以计算其三角洲(因此是其lambda),即持续时间。有效持续时间是对后者的离散近似,并且需要期权定价模型。
其中δy是产量变化的量,而和如果债券的收益率分别下降或y升高,则债券将为债券所占的价值。 ( “平行移位” ;请注意,此值可能会根据δy的值而变化。)
这些值通常是使用基于树的模型来计算的,该模型是为整个产量曲线构建的(而不是单个产量的成熟度),因此在选项寿命中的每个点捕获运动行为,均与时间和利率相关;参见晶格模型(财务)§利率衍生品。
扩散持续时间
扩散持续时间是债券的市场价格对期权调整差异(OAS)变化的敏感性。因此,指数或基础屈服曲线保持不变。基准为指数(例如1个月或3个月的LIBOR)和定期重置指数的浮动利率资产将有效持续时间接近零,但扩散持续时间可与其他相同的固定利率键相媲美。
平均持续时间
债券投资组合(例如债券共同基金对利率变化)的敏感性也很重要。经常报告投资组合中债券的平均持续时间。投资组合的持续时间等于投资组合中所有现金流的加权平均成熟度。如果每个债券的成熟度具有相同的收益率,则等于投资组合债券持续时间的加权平均值,权重与债券价格成正比。否则,债券的持续时间的加权平均值只是一个良好的近似值,但仍可以用来推断投资组合的价值会如何响应利率变化而变化。
凸性
持续时间是债券价格如何响应利率变化而变化的线性度量。随着利率的变化,价格不会线性变化,而是利率的凸功能。凸度是衡量债券价格随着利率变化的变化的度量。具体而言,持续时间可以作为债券价格相对于所讨论利率的价格函数的第一个衍生物,而将凸度作为第二个导数。
凸性还使人们对未来现金流的传播有所了解。 (就像持续时间给出打折的均值期限一样,可以使用凸度来计算折扣标准偏差,例如回报。)
请注意,凸度可能是正面的或负的。具有正凸的债券将没有任何呼叫功能 - 即发行人必须在到期时兑换债券 - 这意味着随着利率的下降,其持续时间和价格都会上升。
另一方面,具有呼叫功能的债券 - 即发行人可以尽早赎回债券的债券 - 随着费率接近期权罢工的负面凸面,即随着费率下降,其持续时间将下降,因此其价格将其价格下降,因此会很快上升。这是因为发行人可以以高优惠券兑换旧债券,并以较低的利率重新发行新的债券,从而为发行人提供有价值的选择性。与上述类似,在这些情况下,计算有效凸度可能更正确。
以美国风格的15年或30年固定利率抵押贷款为抵押贷款的抵押证券(通过抵押贷款本金预付款)是可兑现债券的示例。
谢尔曼比率
“谢尔曼比率”是以Doubleline Capital的首席投资官Jeffrey Sherman命名的每单位债券持续时间的收益率。它被称为“债券市场最恐怖的量规”,美国公司债券指数的历史最低点为0.1968。该比率仅仅是所提供的收益率(百分比),除以债券持续时间(在几年中)。