键凸

金融中,债券凸度是衡量债券价格与利率变化的非线性关系的衡量标准,并将其定义为债券价格相对于利率的第二个衍生品持续时间是第一个导数)。通常,持续时间越高,债券价格越敏感的利率变化。债券凸度是金融中最基本和最广泛使用的凸度形式之一。凸性是基于Hon-Fei Lai的作品,并由Stanley Diller推广。

凸的计算

持续时间是债券价格如何响应利率变化而变化的线性度量或第一个导数。随着利率的变化,价格不太可能线性变化,但是它会随着利率的某些弯曲功能而变化。债券的价格函数越弯曲,持续时间的不准确是对利率灵敏度的量度。

凸度是曲率或第二个导数的度量,即债券的价格如何随利率变化,即随着利率的变化,债券的持续时间如何变化。具体而言,人们假设利率在整个债券的寿命中都是恒定的,而利率的变化均匀地发生。使用这些假设,可以将持续时间作为债券价格函数相对于相关利率的第一个衍生物。那么凸度将是价格函数相对于利率的第二个导数。

凸度不假定债券价值与利率之间的关系是线性的。在实际市场中,恒定利率甚至变化的假设是不正确的,并且需要更复杂的模型来实际价格债券。但是,这些简化的假设使人们可以快速,轻松地计算出描述债券价格对利率变化的敏感性的因素。

为什么债券凸度可能有所不同

利率期限结构的平行变化的价格敏感性最高,零企业债券的价格最高,最低的是摊销债券(在付款中付费的情况下)。尽管摊销键和零 - 偶联的键在相同的成熟度下具有不同的敏感性,但如果它们的最终成熟度有所不同,以使它们具有相同的键持续时间,那么它们将具有相同的敏感性。也就是说,它们的价格将受到小型,一阶(和平行)的产量曲线变化的影响。但是,由于付款日期和金额的不同,他们将随着每个进一步的增量并行率变化而开始随着不同的数量而变化。

对于具有相同标准值,优惠券和成熟度相同的两个债券,凸度可能会有所不同,具体取决于它们所在的价格屈服曲线的点。

数学定义

如果平坦的浮动利率为r ,债券价格为b ,则将C定义为

表达C的另一种方式是根据修改的持续时间d

所以,

离开

其中d是修改的持续时间

债券持续时间如何随着利率变化而变化

返回修改后的标准定义:

其中pi是优惠券I现值,而ti是将来的付款日期。

随着利率的提高,与早期息票相关的较长付款的现值(通过早期和晚期付款之间的折现因子)下降。但是,当利率上升时,债券价格也会下降,但是每个优惠券时间计时的总和的现值变化(总结中的分子)大于债券价格的变化(总和中的分母)。因此, r的增加必须减少持续时间(或者在零息键的情况下,留下未修改的持续时间常数)。请注意,修改的持续时间d与常规持续时间不同于1 + R以上的因子(如上所述),这也随着R的增加而减小。

鉴于凸度与上述持续时间之间的关系,常规键凸必须始终是正面的。

基本利率证券的分析也可以在分析中证明凸性的积极性。例如,在假设平坦的屈服曲线下,一个人可以将持有票债券的价值写为代表在时间t i支付的优惠券。然后很容易看到

请注意,相反,这意味着通过区分持续时间的衍生物的消极情绪

凸的应用

  1. 凸度是一个风险管理数字,类似于衍生品风险管理中使用“伽玛”的方式。它是用于管理债券投资组合所面临的市场风险的数字。如果交易书的综合凸度和持续时间很高,那么风险也是如此。但是,如果组合的凸度和持续时间较低,则该书是对冲的,即使发生相当大的兴趣运动,也将损失很少的钱。 (在屈服曲线中平行)
  2. 由于费率变化而引起的债券价格变动的二阶近似使用了凸度:

有效的凸度

对于具有嵌入式选项的债券,基于成熟度的凸度(和持续时间)的收益率并未考虑由于期权练习而导致的收益曲线变化将如何改变现金流量。为了解决这个问题,必须通过数值计算有效的凸度。有效凸度是债券价值的第二个导数离散近似,这是利率的函数:

在哪里是使用选项定价模型计算的债券值, 是产量变化的金额,并且如果收益率下降,债券将为债券所占的价值或升起 ,分别(平行移位)。

这些值通常是使用基于树的模型来找到的,该模型是为整个产量曲线构建的,因此可以在期权寿命中的每个点捕获锻炼行为,这是时间和利率的函数;参见晶格模型(财务)§利率衍生品

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