黑色 - choles方程

数学金融, 这黑色 - choles方程是一个部分微分方程(PDE)管理A的价格演变欧洲电话或者欧洲证券在下面黑色 - choles模型.[1]从广义上讲,该术语可能是指可用于多种的类似PDE选项,或更普遍的衍生物.

来自市场数据的参数的模拟几何布朗尼动作

对于欧洲的电话或投入基础股票不支付任何股息,等式是:

在哪里v是该期权的价格作为股票价格s和时间tr是无风险的利率,并且是股票的波动。

等式背后的主要财务见解是,在模型假设下无摩擦市场,一个人可以完美树篱购买和出售的选项潜在的资产以正确的方式,因此“消除风险”。此树篱又意味着该期权只有一个正确的价格黑色 - choles公式.

Black -Scholes PDE的财务解释

该方程式具有一种具体的解释,该解释经常被从业者使用,并且是下一个小节中给出的共同推导的基础。方程可以以形式重写:

左侧由“时间衰减”术语组成,衍生值相对于时间的变化,称为Theta,以及涉及第二空间衍生物的术语伽玛,相对于基础值的衍生值的凸度。右侧是从派生词中的长位置的无风险回报,而较短的位置包括基础的股票。

布莱克和斯科尔斯的见解是,由右侧代表的投资组合是无风险的:因此,方程式说,任何无限时间间隔的无风险回报可以表示为theta的总和和含义伽玛的术语。对于一种选择,theta通常是负面的,反映出由于行使期权的时间较少而导致的价值损失(对于没有股息的欧洲呼叫,欧洲呼叫始终是负面的)。伽玛通常是积极的,因此伽马项反映了保持选项的收益。方程式指出,在任何无限的时间间隔内,theta的损失和伽马项的增益必须相互抵消,以便结果是以无风险的利率回报。

从期权发行人的角度来看,例如投资银行,伽玛期限是对冲期权的成本。(由于伽玛是最大的,当基础的现货价格接近该期权的打击价格时,卖方的对冲成本在这种情况下是最大的。)

黑色 - choles pde的推导

以下派生在赫尔的选项,期货和其他衍生品.[2]:287–288反过来,这是基于原始黑色 - choles纸中的经典论证。

根据上面的模型假设,基础资产(通常是股票)几何布朗运动。那是

在哪里w是一个随机变量(布朗运动)。注意w因此,它的无限增量DW,代表股票价格历史上唯一的不确定性来源。直觉,wt)是过程以随机的方式“上下摆动”,以至于其在任何时间间隔内的预期变化为0。(此外,它方差随着时间的推移t等于t;看维纳过程§基本属性);一个很好的离散类似物w是一个简单的随机步行。因此,上述方程式指出,股票的无限收益率的期望值为μ DT和一个差异.

期权的收益(或股票的任何衍生品特征成熟时是已知的。要在更早的时候找到其价值演变为。经过Itô的引理对于两个变量,我们有

现在考虑某个投资组合,称为Delta-Hedge投资组合,包括一个简短的选项和长时间的选择及时分享。这些持有的价值是

在这个时间段,持有价值变化的总利润或损失为(但请参见下面的注释):

现在将方程式离散DS/sDV通过用三角洲替换差异:

并适当地将它们替换为表达

注意学期消失了。因此,已经消除了不确定性,并且投资组合实际上是无风险的。该投资组合的回报率必须等于任何其他无风工具的回报率;否则,将会有套利的机会。现在假设无风险收益率为我们必须在时间段内

如果我们现在将两个公式等同于我们获得:

简化,我们到达了著名的黑色 - choles部分微分方程:

有了黑色 - choles模型的假设,只要其价格功能相对于关于。各种选择的不同定价公式将来自在有效期和适当的边界条件下的回报功能的选择。

技术说明:上面的离散方法掩盖的微妙之处是,投资组合值的无限变化仅是由于所持持有资产值的无限变化,而不是资产中的位置变化。换句话说,假定投资组合是自我融资.

替代推导

这是可以在最初不清楚的套期保值投资组合中使用的替代推导。(有关参考,请参见Shreve Vol II的6.4)。

在Black-Scholes模型中,假设我们选择了风险中立的概率措施,即基础股票价格st)假定为几何布朗运动演化:

由于此随机微分方程(SDE)表明股票价格的演变为马尔可夫,此基础上的任何衍生物都是时间的函数t以及当前的股票价格st)。然后,ITO的引理的应用为折扣衍生过程提供了SDE,这应该是一个小舞会。为了保持这一点,漂移项必须为零,这意味着黑色 - choles pde。

该推导基本上是Feynman – Kac公式并可以尝试根据给定的SDE演变而来的基础资产。

求解黑色 - choles pde

一旦为衍生物得出了带边界和终端条件的黑色 - choles PDE,就可以使用标准的数值分析方法来求解PDE,例如一种类型的数值分析方法有限差法.[3]在某些情况下,可以解决一个确切的公式,例如在欧洲呼吁的情况下,这是由黑人和斯科尔斯完成的。

为了为呼叫选项执行此操作,请回想一下上面的PDE边界条件[4]

最后一个条件给出了选项成熟时期权的值。其他条件是可能的s到0或无穷大。例如,在其他情况下使用的常见条件是选择Delta消失为s到0,伽玛消失为s去无穷大;这些将提供与上述条件相同的公式(通常,不同的边界条件将提供不同的解决方案,因此应利用一些财务洞察力来为当前情况选择合适的条件)。

PDE的解决方案在任何较早的时间给出了选项的值,。为了解决PDE,我们认识到这是一个Cauchy -Euler方程可以转变为扩散方程通过引入可变化的变换

然后黑色 - choles pde变成了扩散方程

终端条件现在成为初始条件

在哪里Hx) 是个Heaviside步骤功能。Heaviside功能对应于执行边界数据st何时需要的坐标系t=t

假设两者sk>0。有了这个假设,它等效于所有的最大函数x实际数字,除了x= 0。最大限度功能和重物函数在分布意义上是因为它不适合x=0。尽管微妙x= 0,甚至为此定义。有关在x= 0,请参见文章中的“零参数”部分Heaviside步骤功能.

使用标准卷积解决A的方法扩散方程给定初始值函数,ux,0),我们有

经过一番操纵,产生了

在哪里是个标准正常累积分布函数

这些是Fischer Black在1976年获得的相同解决方案(直到时间翻译)。[5]

振兴对于原始的变量集,将上述解决方案带到黑色 - choles方程。

现在可以实现渐近条件。

这简而言之s恢复原始坐标时。

参考

  1. ^ØKSENDAL,伯恩特(1998)。 “选项定价”。随机微分方程:带有应用的介绍(第五版)。柏林:施普林格。第266–283页。ISBN 3-540-63720-6.
  2. ^赫尔,约翰·C(2008)。选项,期货和其他衍生品(7 ed。)。Prentice Hall.ISBN 978-0-13-505283-9.
  3. ^威尔莫特,保罗;霍森,山姆;Dewynne,Jeff(1995)。“有限差分方法”.金融衍生品的数学。剑桥大学出版社。pp。135–164。ISBN 0-521-49789-2.
  4. ^https://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/teaching/math4210/chap08.pdf[裸露的URL PDF]
  5. ^请参阅等式(16)INBlack,Fischer S.(1976)。“商品合同的定价”。金融经济学杂志.3(1-2):167–179。doi10.1016/0304-405X(76)90024-6.