阿尔弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski）
阿尔弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski） | |
|---|---|
 塔斯基（Tarski）在1968年 | |
| 出生 | Alfred Teitelbaum 1901年1月14日 |
| 死了 | 1983年10月26日（82岁） 加利福尼亚州伯克利，美国 |
| 国籍 | 波兰人，美国 |
| 教育 | 华沙大学（1924年博士） |
| 闻名 | |
| 科学职业 | |
| 字段 | 数学，逻辑，形式语言 |
| 机构 | |
| 论文 | o wyrazie pierwotnym logistyki（关于逻辑的原始术语） （1924年） |
| 博士顾问 | StanisławLeśniewski |
| 博士生 | |
| 其他著名的学生 | Evert Willem Beth |
阿尔弗雷德·塔斯基（ Alfred Tarski） （ ，出生于Alfred Teitelbaum ； 1901年1月14日至1983年10月26日）是波兰裔逻辑学家和数学家。他是一位多产的作者，他以模型理论， metamathematics和代数逻辑而闻名，他还为抽象代数，拓扑，几何学，测量理论，数学逻辑，集合理论和分析哲学做出了贡献。
他在华沙大学的波兰教育，以及LWów -Warsaw逻辑学院和华沙数学学院的成员，于1939年移民到美国，在那里他于1945年成为归化公民。从1942年到1983年去世。
他的传记作者安妮塔·伯德曼（Anita Burdman Feferman）和所罗门·费弗曼（ Solomon Feferman）指出，“与当代的库尔特·戈德尔（KurtGödel）一起，他在20世纪改变了逻辑的面貌，尤其是通过他对真理概念和模型理论的工作。”
生活
早年生活和教育
阿尔弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski）出生于阿尔弗雷德·泰特尔鲍姆（Alfred Teitelbaum）（波兰拼写：“ tajtelbaum”），在舒适的环境下是波兰犹太人的父母。在华沙的SzkołaMazowiecka中，他首先表现出了他的数学能力。尽管如此，他于1918年进入华沙大学，打算研究生物学。
波兰在1918年重新获得独立后，华沙大学以Jan olukasiewicz ， StanisławLeśniewski和WacławAwawSierpiński的身份领导，并迅速成为了逻辑，基础数学和数学哲学的世界领先的研究机构。 Leśniewski认可了Tarski作为数学家的潜力，并鼓励他放弃生物学。此后，塔斯基（Tarski）参加了由奥卡西维奇（lukasiewicz），塞普斯基（Sierpiński），斯特凡·马祖尔基维奇（ Stefan Mazurkiewicz ）和塔德斯·科塔尔比斯基（TadeuszKotarbiński）教授的课程，并于1924年成为唯一在Leśniewski的监督下完成博士学位的人。他的论文题为o wyrazie pierwotnym logistyki （在《物流的原始术语》中； 1923年出版）。 Tarski和Leśniewski很快变得彼此变得很酷，这主要是由于后者的反犹太主义日益增加。然而，在后来的生活中，塔斯基（Tarski）保留了他对科塔比斯基（Kotarbiński）的最热烈赞美，这是往复的。
1923年，阿尔弗雷德·蒂特鲍姆（Alfred Teitelbaum）和他的兄弟沃克瓦（Wacław）将他们的姓氏改为“塔斯基（Tarski）”。塔斯基兄弟（Tarski Brothers）还converted依波兰的主要宗教罗马天主教。阿尔弗雷德这样做了，即使他是一个无神论者。
职业
塔斯基（Tarski）成为有史以来在华沙大学（Warsaw University）完成博士学位的最年轻的人之后，塔斯基（Tarski）在波兰教学学院，大学的数学和逻辑上教授逻辑，并担任lukasiewicz的助手。由于这些职位的薪水不高，塔斯基还在华沙中学教授数学。在第二次世界大战之前，欧洲知识分子教授高中并不少见。因此，塔斯基（Tarski）在1923年和他在1939年前往美国的离开之间，不仅撰写了几本教科书和许多论文，其中许多是开创性的，而且在主要通过教授高中数学来支持自己的同时也这样做了。 1929年，塔斯基（Tarski）与天主教背景的杆子玛丽亚·维特科夫斯卡（Maria Witkowska）结婚。她曾在波兰 - 苏瓦战争中担任军队的快递员。他们有两个孩子。成为物理学家的儿子扬·塔斯基（Jan Tarski）和一个女儿伊娜（Ina），他与数学家安德烈·埃伦菲（Andrzej Ehrenfeucht）结婚。
塔斯基（Tarski）申请了Lwów大学哲学主席，但在伯特兰·罗素（Bertrand Russell ）的建议下，它被授予了莱昂·奇维斯克（Leon Chwistek） 。 1930年，塔斯基（Tarski）访问了维也纳大学（University of Vienna） ，演讲了卡尔·蒙格（ Karl Menger ）的座谈会，并遇到了库尔特·戈德尔（KurtGödel） 。得益于奖学金，他能够在1935年上半年返回维也纳与Menger的研究小组合作。从维也纳开始，他前往巴黎，在科学运动统一的第一次会议上介绍了他关于真理的想法，这是维也纳圈子的产物。塔斯基（Tarski）在波兰的学术生涯受到强烈的遗产影响。例如，在1937年，塔斯基（Tarski）在波兹南大学申请了一位主席，但由于他是犹太人而避免将其分配给Tarski（无疑是最强大的申请人），因此被废除了总统.塔斯基（Tarski）与科学运动的统一联系可能挽救了他的生命，因为他们被邀请应对1939年9月在哈佛大学举行的科学大会的统一。因此，他于1939年8月离开波兰，在最后一艘船上从波兰航行，前往美国和苏联入侵波兰和第二次世界大战爆发。塔斯基（Tarski）勉强离开了，因为莱斯尼维斯基（Leśniewski）在几个月前去世，创造了一个空缺，塔斯基（Tarski）希望填补这一空缺。他忽略了纳粹威胁，他把妻子和孩子留在华沙。直到1946年，他才再次见到他们。在战争期间，他几乎所有的犹太大家庭都在德国占领当局的手中被谋杀。
到达美国后，塔斯基（Tarski）担任了许多临时教学和研究职位：哈佛大学（1939年），纽约市城市学院（1940年），这要归功于普林斯顿高级研究所的古根海姆奖学金， 1942年（1942年）他再次遇到了戈德尔。 1942年，塔斯基（Tarski）加入了加利福尼亚大学伯克利分校的数学系，他在那里度过了其余的职业生涯。塔斯基（Tarski）于1945年成为美国公民。尽管从1968年开始的名誉，但他一直教导到1973年，并监督了博士学位。候选人直到他去世。在伯克利，塔斯基（Tarski）以惊人和苛刻的老师的身份闻名，这是许多观察家所指出的事实：
他在伯克利的研讨会很快在数学逻辑界闻名。他的学生，其中许多人成为杰出的数学家，他指出了他哄骗和哄骗他们最好的工作，总是要求最高的清晰度和精确度。
塔斯基（Tarski）是外向，机智，意志坚强，充满活力和尖锐的。他更喜欢自己的研究是合作的 - 有时会整夜与同事一起工作 - 并且对优先事项非常挑剔。
塔斯基（Tarski）是一位具有魅力的领导者和老师，以其出色而悬疑的说明性风格而闻名，他对学生的标准非常高，但与此同时，他可能会非常令人鼓舞，尤其是对女性而言- 与一般趋势相反。一些学生被吓到了，但是仍然有一个门徒圈子，其中许多人成为该领域的世界知名领导人。
塔斯基监督了二十四博士学位。论文包括（按时间顺序），安德烈斯·莫斯托夫斯基（ Andrzej Mostowski ） ，比贾尼·乔恩森（ BjarniJónsson），朱莉娅·罗宾逊（Julia Robinson），罗伯特·沃特（Robert Vaught），所罗门·弗弗曼（ Solomon Feferman），理查德·蒙塔格（Richard Montague），詹姆斯·唐纳德·蒙克（James Donald Monk），海姆·戈夫曼，模型理论的作者（1973），该领域的经典文本。他还强烈影响了Alfred Lindenbaum， Dana Scott和Steven Givant的论文。塔斯基（Tarski）的五个学生是女性，这是一个了不起的事实，因为当时男人代表了绝大多数研究生。但是，他至少有两个学生有婚外情。这位同事向一位男同事展示了他的另一位女学生的工作后，他自己出版了它，导致她离开了研究生学习，后来又搬到了另一所大学和另一位顾问。
塔斯基（Tarski）在伦敦大学学院（1950年，1966年）演讲，巴黎的亨利·庞加莱学院（1955年），伯克利科学基础研究所（1958 - 60年），加利福尼亚大学，洛杉矶分校（ 1967年），1967年，分校和智利天主教大学（1974 - 75年）。在他的职业生涯中获得的许多区别中，塔斯基（Tarski）当选为1958年美国国家科学院，英国学院和荷兰皇家艺术与科学学院，于1975年获得智利天主教大学的荣誉学位。 ，从1977年马赛的保罗·塞赞（PaulCézanneUniversity ）以及卡尔加里大学（University of Calgary）以及1981年的伯克利引文。 1956–57。他还是Algebra Universalis的名誉编辑。
数学工作
塔斯基的数学利益非常广泛。他的收集论文约为2500页，其中大多数在数学上，而不是逻辑。有关他的前学生所罗门·费弗曼（Solomon Feferman）对塔斯基（Tarski）的数学和逻辑成就的简洁调查，请参阅《弗弗曼（Feferman）》和《菲尔曼》（Feferman）中的“ Interludes I – vi”。
塔斯基（Tarski）19岁那年出版的第一篇论文曾在理论上发表，这是他一生中回来的主题。 1924年，他和斯特凡·巴纳克（Stefan Banach）证明，如果一个人接受选择的公理，则可以将球切成有限数量的碎片，然后重新组装成更大尺寸的球，或者可以将其重新组装成两个球的球，它们的球将其重新组装成两个球的球。每个大小都等于原始的大小。现在，该结果称为Banach -Tarski悖论。
在基本代数和几何形状的决策方法中，塔斯基通过消除量词的方法表明，在加法和乘法下的实数的一阶理论是可决定的。 （虽然该结果仅在1948年才出现，但它的历史可以追溯到1930年，在Tarski（1931）中被提及。）这是一个非常奇怪的结果，因为Alonzo教堂在1936年证明了Peano Arithmetic （自然数字理论）并非可决定。哥德尔的不完整定理也不完整Peano算术。 Tarski等人在他的1953年不确定的理论中。表明许多数学系统，包括晶格理论，抽象的投射几何形状和闭合代数都无法确定。阿贝尔群体的理论是可决定的，但非阿布尔群体的理论不是。
在1920年代和30年代，塔斯基经常教高中几何学。塔斯基（Tarski）使用了一些马里奥·皮里（Mario Pieri）的想法，为欧几里得几何形状设计了一种原始的公理化，比希尔伯特（Hilbert）更简洁。塔斯基（Tarski）的公理形成了一阶理论，没有集合理论，其个体是点，只有两个原始关系。在1930年，他证明了这一理论可以决定的，因为它可以映射到他已经证明是可决定的另一种理论中，即他对实数的一阶理论。
在1929年，他表明，欧几里得固体几何形状的大部分可能是二阶理论，其个体是球体（原始概念），单个原始的二进制关系“都包含”，而两个公理则意味着，除其他外，该遏制部分命令球体。放松所有个人为球体的要求，与Lesniewski的变体相比，揭露的类型的形式化得多。塔斯基（Tarski）在生命的尽头，写了一封很长的信，曾出版为Tarski and Givant（1999），总结了他在几何学上的工作。
基本代数研究了代数的代数，其模型包括基本数字的算术。序数代数为订单类型的加性理论规定了代数。红衣主教，但不是序数，增加通勤。
1941年，塔斯基（Tarski）发表了一篇关于二元关系的重要论文，该论文开始了有关关系代数及其的变质的工作，该工具占据了塔斯基及其学生的一生。虽然探索（以及罗杰·林登（Roger Lyndon ）的密切相关的工作）发现了关系代数的一些重要局限性，但塔斯基（Tarski）也表明（Tarski and Givant 1987）表明，关系代数可以表达大多数公理设置的理论和Peano Arithmetic 。有关关系代数的介绍，请参见Maddux（2006）。在1940年代后期，塔斯基（Tarski）和他的学生设计了圆柱代数，它们是一阶逻辑，即两元素的布尔元素代数对古典句子逻辑是什么。这项工作最终导致了Tarski，Henkin和Monk（1971，1985）的两部专着。
逻辑工作
塔斯基（Tarski）的学生罗伯特·劳森（Robert Lawson Vaught ）将塔斯基（Tarski）与亚里士多德（Aristotle） ，戈特洛布·弗雷格（ Gottlob Frege ）和库尔特·戈德尔（KurtGödel）一起排名为有史以来最伟大的四位逻辑学家之一。但是，塔斯基经常对查尔斯·桑德斯·皮尔斯（Charles Sanders Peirce）表示敬佩，尤其是他在关系逻辑方面的开创性工作。
塔斯基（Tarski）产生了逻辑后果的公理，并在演绎系统，逻辑代数和确定性理论上工作。他的语义方法在1950年代和60年代发展的模型理论中达到了最终，从而从根本上改变了希尔伯特的证明理论质。 1930年左右，塔斯基（Tarski）开发了一种逻辑推论的抽象理论，该理论模拟了逻辑骨化的某些特性。从数学上讲，他所描述的只是一组封闭操作员（一组句子）。用抽象的代数逻辑，仍以Tarski创造的后果操作员的名义研究了封闭操作员。集合S表示一组句子，一个理论的子集，Cl（ t ）是理论随后的所有句子的集合。这种抽象的方法应用于模糊逻辑（请参阅Gerla 2000）。
在[tarski]的观点中，metAmathematics变得与任何数学学科相似。它的概念和结果不仅可以被数学化，而且实际上可以将其集成到数学中。 ... Tarski破坏了Metamaptics和数学之间的界限。他反对限制过失学的作用限于数学基础。
塔斯基（Tarski）1936年的文章“涉及逻辑后果的概念”认为，当且仅当前提的每个模型都是结论的模型时，论点的结论才会从逻辑上遵循逻辑。 1937年，他发表了一篇论文，清楚地介绍了他对演绎方法的性质和目的以及逻辑在科学研究中的作用的看法。他的高中和本科逻辑和公理学的教学以经典的短文为顶点，首先以波兰语出版，然后是德语翻译，最后是1941年的英文翻译，作为逻辑和演绎科学方法论的介绍。
塔斯基（Tarski）1969年的“真相与证据”都认为戈德尔的不完整定理和塔斯基（Tarski）的不确定性定理，并考虑了它们对数学方面方法的后果。
正式语言中的真相
1933年，塔斯基（Tarski）发表了一篇非常长的波兰语论文，标题为“pojęcieprawdy wjęzykachnauk dedukcyjnych”，“设定了对正式语言真理的数学定义”。 1935年的德国翻译的标题为“ Den Formorisierten Sprachen中的Der Wahrheitsbegriff”，“正式语言中真理的概念”，有时缩短为“ Wahrheitsbegriff”。 1956年的第一版卷逻辑，语义，metAlapatics的第一版出现了英文翻译。从1923年到1938年的论文集集是20世纪分析哲学的一个事件，这是对象征逻辑，语义和语言哲学的贡献。有关其内容的简要讨论，请参见公约t （以及T-Schema ）。
最近的一些哲学辩论研究了塔斯基对形式化语言的真理理论在多大程度上被视为真理的对应理论。辩论集中在如何阅读Tarski的物质适当性状态，以实现真实定义。该条件要求真理理论作为定义的所有句子p的定理p，其定义为真理的定义：
- 当且仅当p时， “ p”是正确的。
（其中P是“ P”表示的命题）
辩论等于是否阅读此表格的句子，例如
当且仅当雪为白色时，“雪为白色”是正确的
仅仅表达了真理的通缩理论或将真理体现为更为实质的特性（参见Kirkham 1992）。重要的是要意识到，塔斯基的真理理论是针对形式化语言的，因此自然语言的例子不是塔斯基真理理论的使用的例证。
逻辑后果
1936年，塔斯基（Tarski）发表了波兰语和德语版本的演讲，“关于逻辑上的关注概念”，他在巴黎国际科学哲学大会上给了前一年。 ，强调了本文的德国和波兰版本之间的许多差异，并纠正了Tarski（1983）中的许多错误翻译。
该出版物规定了（语义）逻辑后果的现代模型理论定义，或者至少是基础的基础。塔斯基（Tarski）的概念是否完全是现代的转变，他是否打算接受具有不同领域的模型（尤其是具有不同基础性领域的模型）。这个问题是当前哲学文献中一些辩论的问题。 John Etchemendy刺激了有关Tarski对不同领域的处理的最新讨论。
塔斯基（Tarski）指出，他对逻辑后果的定义取决于术语分为逻辑和逻辑性的术语，他表达了一些怀疑，即任何这样的客观分裂都将是即将到来的。 “什么是逻辑观念？”因此，可以将其视为继续“逻辑后果的概念”。
逻辑概念
塔斯基（Tarski）在最近的哲学文献中引起人们关注的另一种理论是他的“什么是逻辑观念？”中概述了这一点。 （Tarski 1986）。这是他最初于1966年在伦敦和1973年在布法罗发表的演讲的发表版本。约翰·柯克兰（John Corcoran）在没有直接参与的情况下进行了编辑。它成为逻辑历史和哲学杂志上最受欢迎的论文。
在演讲中，塔斯基提出了对非逻辑性的逻辑操作（他称之为“概念”）的划分。建议的标准源自19世纪德国数学家Felix Klein的Erlangen计划。莫特纳（1946年），可能是葡萄牙数学家何塞·塞巴斯蒂奥·席尔瓦（JoséSebastiãoeSilva）的文章，预计塔斯基（Tarski）将Erlangen计划应用于逻辑。
该程序通过将空间转换为自身的类型，将各种类型的几何形状（欧几里得几何，仿射几何，拓扑等）分类，这使该几何理论不变的对像不变。 （一对一的转换是空间的功能图，以便空间的每个点都与空间的另一个点相关联或映射到空间的另一点。因此，“旋转30度”，“通过一个因子放大2英寸是简单统一的一对转换的直观描述。）连续转换产生了拓扑的对象，相似性转换到欧几里得几何形状的对象，等等。
随着允许转换的范围变得更加宽，对物体的范围范围能够区分通过转换的应用而保留的对象范围变得更狭窄。相似性转换相当狭窄（它们保留了点之间的相对距离），因此使我们能够区分相对多的事物（例如，等边三角形与非平衡三角形）。连续变换（可以直观地将其视为变换，可以将不均匀的拉伸，压缩，弯曲和扭曲，但没有撕裂或胶水）使我们能够区分多边形与环（中心有一个孔），但是，不允许我们彼此区分两个多边形。
塔斯基（Tarski）的提议是通过考虑域中的所有可能的一对一转换（自动形态）来划分逻辑概念。界面是指逻辑语义理论的模型的话语宇宙。如果一个人在域集中识别真实价值为真实的真实价值，而真实值则使用了空集，则在提案中将以下操作视为逻辑：
- 真相：提案都承认了所有真相。这包括但不限于有限n的所有n个真实功能。 （它还承认了任何无限数量的位置的真理功能。）
- 个人：没有个人，只要域名至少有两个成员。
- 谓词：
- 量词：Tarski明确地讨论了单调的量词，并指出所有这些数值量词都在其提议下被录取。其中包括标准通用量词和数值量词，例如“正好四个”，“有限的”，“无限”，“许多”和“四到900万之间”。虽然Tarski没有进入这个问题，但也很明显，该提案已接纳多核量化器。这些是量化符，例如，给定两个谓词FX和GY ，“更多（ x，y ）”，其中说“比g的东西更多的东西”。
- 固定理论关系：在当前意义上，应用于域子集的包含，交叉和联合等关系是合乎逻辑的。
- 固定会员：塔斯基（Tarski）结束了演讲，讨论了在他的意义上是否算是合乎逻辑的。 （鉴于将（大多数）数学减少为设定理论，这实际上是关于大多数数学是逻辑的一部分的问题。）类型理论的线路线，但在公理上是外部的，如果集合理论是在公理上列出的，如规范的zermelo – fraenkel集理论。
- 高阶的逻辑概念：虽然Tarski将他的讨论限制在一阶逻辑的操作中，但他的建议一定没有将其限制在一阶逻辑上。 （Tarski可能会将他的注意力限制在一阶概念上，因为谈话是给非技术观众的。）因此，也承认了高阶量词和谓词。
在某些方面，本提案是Lindenbaum和Tarski（1936）的提案，他们证明了Bertrand Russell 's and Whitehead的Principia Mathematica的所有逻辑行动都是在域名的一对一转变下不变的本身。目前的提案也用于Tarski和Givant（1987）。
所罗门·费弗曼（Solomon Feferman）和范·麦吉（Vann McGee）进一步讨论了塔斯基（Tarski）去世后发表的作品的提议。 Feferman（1999）提出了该提案问题，并提出了一种治疗方法：用任意同构的保存来代替Tarski的保存。从本质上讲，这一建议避免了塔斯基（Tarski）的提议在处理给定基数的不同领域以及跨不同基础性领域的逻辑操作相同的困难方面的困难。与Tarski的原始提议相比，Feferman的提议对逻辑术语的根本限制。特别是，它最终仅视为逻辑，只有那些没有身份的标准一阶逻辑的运算符。
Vann McGee（1996）提供了一个精确的说明，以说明哪种操作是在Tarski的建议意义上以表达性的意义合理的语言，该语言通过允许任意长时间的结合和分离来扩展一阶逻辑，以及对任意多个变量的量化。 “任意”包括一个可计数的无限。
选定的出版物
- 选集和收藏
- 1986年。阿尔弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski）收集的论文，第4卷。 SR Givant和RN的McKenzie编辑。 Birkhäuser。
- Givant Steven（1986）。 “阿尔弗雷德·塔斯基的书目”。符号逻辑杂志。 51 （4）：913–41。 doi ： 10.2307/2273905 。 JSTOR 2273905 。 S2CID 44369365 。
- 1983（1956）。逻辑，语义，metaphematics：1923年至1938年的论文，由Alfred Tarski ，Corcoran，J。编辑。哈克特。第一版由牛津大学的JH Woodger编辑和翻译。按。该系列包含了塔斯基（Tarski）早期职业生涯中一些最重要的论文的翻译，包括以形式化语言的真理概念以及上面讨论的逻辑后果的概念。
- 塔斯基的原始出版物
- 1930年UNE贡献 - lathéoriede la Mesure。基金数学15（1930），42-50。
- 1930年。 “ unteruchungen uber den aussagenkalkul” [“对句子演算的调查”， compters compters compters compt redus des seances de la seciiete des Sciiete et des des des des des des des des des des des des des des de varsovie ，第23卷（1930年）Cl。 III，第31-32页，《塔斯基》（1983）：38-59。
- 1931年。“ sur les ememblesdéfinissablesde nombresréelsi”，《塔斯基》（1983年）：110-142的Mathematicae 17 ：210-239。
- 1936年。 “ Grundlegung der Wissenschaftlichen semantik” ， Actes du kelectes du kelection de Philosophie Scientifique，Sorbonne，巴黎，1935年，第1卷。 III， Language et pseudo-Problèmes ，巴黎，赫尔曼，1936年，第1-8页，《塔斯基》（1983）：401-408。
- 1936年。 “überden begriff der logischen folgerung” ， 《 Actes duenkerès国际哲学科学》，索邦，巴黎，1935年，第1卷。 VII，洛克，巴黎：赫尔曼，第1-11页，《塔斯基》（1983）：409–420。
- 1936年（与阿道夫·林登鲍姆（Adolf Lindenbaum ）一起）。 Tarski（1983）：384–92中的“推论理论的局限性”。
- 1937年。einführungin Mathematische logik und in die dieologie der Mathematik 。施普林格，维也纳（维也纳）。
- 1994（1941）。逻辑简介和演绎科学方法。多佛。
- 1941年。“关于关系的计算”，符号逻辑杂志6 ：73-89。
- 1944年。“真理的语义概念与语义的基础” ，《哲学与现象学研究》 4 ：341–75。
- 1948年。基本代数和几何形状的决策方法。圣莫尼卡CA：兰德公司
- 1949年。基本代数。牛津大学。按。
- 1953年（莫斯托夫斯基和拉斐尔·罗宾逊）。不确定的理论。北荷兰。
- 1956年。序数代数。北荷兰。
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- 1969年。《 真相与证明》， 《科学美国人》 220 ：63-77。
- 1971年（与莱昂·亨金（Leon Henkin）和唐纳德·蒙克（Donald Monk）在一起）。圆柱代数：第一部分。北荷兰。
- 1985年（与莱昂·亨金（Leon Henkin）和唐纳德·蒙克（Donald Monk）在一起）。圆柱代数：第二部分。北荷兰。
- 1986年。“什么是逻辑观念？”，Corcoran，J。，编辑， 《逻辑的历史和哲学》 7 ：143–54。
- 1987年（与史蒂文·吉万特（Steven Givant）一起）。没有变量的设定理论的形式化。美国数学学会座谈会第41卷。普罗维登斯RI：美国数学学会。 ISBN 978-0821810415。 审查
- 1999年（与史蒂文·吉万特一起）。 “ Tarski的几何系统” ，符号逻辑公告5 ：175–214。
- 2002年。“关于逻辑上的概念”（Magdastroińska和David Hitchcock，Trans。）逻辑的历史和哲学23 ：155-196。